Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλές

Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων απαιτεί από εσάς να βρείτε την τιμή μιας ή περισσότερων μεταβλητών σε περισσότερες από μία εξισώσεις. Μπορείτε να επιλύσετε ένα σύστημα εξισώσεων προσθέτοντας, αφαιρώντας, πολλαπλασιάζοντας ή αντικαθιστώντας. Εάν θέλετε να μάθετε πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων, ακολουθήστε αυτά τα βήματα.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 4: Λύστε με αφαίρεση

1. 

   Γράψτε μια εξίσωση πάνω από την άλλη. Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με αφαίρεση είναι ιδανική όταν βλέπετε ότι και οι δύο λογαριασμοί έχουν μια μεταβλητή με τον ίδιο συντελεστή και το ίδιο σύμβολο. Για παράδειγμα, εάν και οι δύο εξισώσεις έχουν τη θετική μεταβλητή 2x, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αφαίρεσης για να βρείτε την τιμή και των δύο μεταβλητών.
   • Γράψτε μια εξίσωση πάνω από την άλλη ευθυγραμμίζοντας τις μεταβλητές x και y και όλους τους αριθμούς. Γράψτε το σύμβολο πλην εκτός της ποσότητας του δεύτερου συστήματος εξισώσεων.
   • Π.χ .: εάν έχετε δύο εξισώσεις 2x + 4y = 8 και 2x + 2y = 2, τότε πρέπει να γράψετε την πρώτη εξίσωση πάνω από τη δεύτερη, με το σύμβολο μείον έξω από τη δεύτερη ποσότητα, δείχνοντας ότι θα αφαιρέσετε καθέναν από τους όρους στο εξίσωση.
     • 2x + 4y = 8.
     • - (2x + 2y = 2).

2. 

   
   
   Αφαιρέστε παρόμοιους όρους. Τώρα που έχετε ευθυγραμμίσει τις δύο εξισώσεις, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να αφαιρέσετε παρόμοιους όρους. Μπορείτε να κάνετε αυτόν τον όρο με όρο:
   • 2x - 2x = 0.
   • 4y - 2y = 2y.
   • 8 - 2 = 6.
     • 2x + 4y = 8 - (2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6.

3. 

   Επιλύστε τους υπόλοιπους όρους. Μόλις εξαλείψετε μία από τις μεταβλητές που λαμβάνουν έναν όρο ίσο με 0 όταν αφαιρείτε τις μεταβλητές με τους ίδιους συντελεστές, πρέπει να επιλύσετε για την υπόλοιπη μεταβλητή μια κανονική εξίσωση. Μπορείτε να αφαιρέσετε το μηδέν από την εξίσωση, καθώς δεν θα αλλάξει τίποτα στην αξία.
   • 2y = 6.
   • Διαιρέστε 2y και 6 με 2 για να βρείτε y = 3.

4. 

   
   
   Αντικαταστήστε τον όρο πίσω σε μία από τις εξισώσεις για να βρείτε την αξία του πρώτου όρου. Τώρα που γνωρίζετε ότι y = 3, πρέπει να αντικαταστήσετε μια από τις αρχικές εξισώσεις και να λύσετε το x. Δεν έχει σημασία ποια θα επιλέξετε γιατί η απάντηση θα είναι η ίδια. Εάν μια από τις εξισώσεις φαίνεται πιο περίπλοκη από την άλλη, απλώς αντικαταστήστε την με την ευκολότερη.
   • Αντικαταστήστε το y = 3 στην εξίσωση 2x + 2y = 2 και λύστε για το x.
   • 2x + 2 (3) = 2.
   • 2x + 6 = 2.
   • 2x = -4.
   • x = - 2.
     • Λύσατε το σύστημα εξισώσεων με αφαίρεση. (X, y) = (-2, 3)

5. 

   
   
   Ελεγξε την απάντησή σου. Για να βεβαιωθείτε ότι έχετε λύσει σωστά το σύστημα εξισώσεων, μπορείτε απλά να αντικαταστήσετε τις δύο απαντήσεις σας και στις δύο εξισώσεις για να βεβαιωθείτε ότι λειτουργούν. Με αυτόν τον τρόπο:
   • Αντικαταστήστε (-2, 3) στη θέση (x, y) στην εξίσωση 2x + 4y = 8.
     • 2(-2) + 4(3) = 8.
     • -4 + 12 = 8.
     • 8 = 8.
   • Αντικαταστήστε (-2, 3) στη θέση (x, y) στην εξίσωση 2x + 2y = 2.
     • 2(-2) + 2(3) = 2.
     • -4 + 6 = 2.
     • 2 = 2.

Μέθοδος 2 από 4: Επίλυση με προσθήκη

1. 

   Γράψτε μια εξίσωση πάνω από την άλλη. Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με προσθήκη είναι ιδανική όταν βλέπετε ότι και οι δύο εξισώσεις έχουν μια μεταβλητή με τον ίδιο συντελεστή, αλλά με αντίθετα σημάδια. Για παράδειγμα, εάν η μία εξίσωση έχει τη μεταβλητή 3x και η άλλη έχει τη μεταβλητή -3x, τότε η μέθοδος προσθήκης είναι ιδανική.
   • Γράψτε μια εξίσωση πάνω από την άλλη ευθυγραμμίζοντας τις μεταβλητές x και y και όλους τους αριθμούς. Γράψτε το σύμβολο συν έξω από την ποσότητα στη δεύτερη εξίσωση.
   • Π.χ .: αν έχετε δύο εξισώσεις 3x + 6y = 8 και ex - 6y = 4, τότε πρέπει να γράψετε την πρώτη εξίσωση πάνω από τη δεύτερη, με το σύμβολο συν έξω από την ποσότητα της δεύτερης εξίσωσης, δείχνοντας ότι θα προσθέσετε κάθε μία όρων της εξίσωσης.
     • 3x + 6y = 8.
     • + (x - 6y = 4).

2. 

   Προσθέστε παρόμοιους όρους. Τώρα που έχετε ευθυγραμμίσει τις δύο εξισώσεις, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να προσθέσετε τους παρόμοιους όρους. Μπορείτε να προσθέσετε ένα κάθε φορά:
   • 3x + x = 4x.
   • 6y + -6y = 0.
   • 8 + 4 = 12.
   • Όταν συνδυάζετε όλους τους όρους, θα βρείτε το νέο σας προϊόν:
     • 3x + 6y = 8.
     • + (x - 6y = 4).
     • = 4x ​​+ 0 = 12.

3. 

   Επιλύστε τους υπόλοιπους όρους. Μόλις εξαλείψετε μία από τις μεταβλητές που λαμβάνουν έναν όρο ίσο με 0 όταν αφαιρείτε τις μεταβλητές με τους ίδιους συντελεστές, πρέπει να επιλύσετε για την υπόλοιπη μεταβλητή μια κανονική εξίσωση. Μπορείτε να αφαιρέσετε το μηδέν από την εξίσωση, καθώς δεν θα αλλάξει τίποτα στην αξία.
   • 4x + 0 = 12.
   • 4x = 12.
   • Διαιρέστε 4x και 12 με 3 για να βρείτε x = 3.

4. 

   Αντικαταστήστε τον όρο πίσω στην εξίσωση για να βρείτε την αξία του πρώτου όρου. Τώρα που γνωρίζετε ότι x = 3, απλά πρέπει να το αντικαταστήσετε σε μία από τις αρχικές εξισώσεις για να λύσετε το y. Δεν έχει σημασία ποια θα επιλέξετε γιατί η απάντηση θα είναι η ίδια. Εάν μια από τις εξισώσεις φαίνεται πιο περίπλοκη από την άλλη, απλώς αντικαταστήστε την με την ευκολότερη.
   • Αντικατάσταση x = 3 στην εξίσωση x - 6y = 4 για επίλυση για y.
   • 3 - 6y = 4.
   • -6y = 1.
   • Διαιρέστε -6y και 1 με -6 για να βρείτε y = -1/6.
     • Επιλύσατε το σύστημα εξισώσεων με προσθήκη. (x, y) = (3, -1/6).

5. 

   Ελεγξε την απάντησή σου. Για να βεβαιωθείτε ότι έχετε λύσει σωστά το σύστημα εξισώσεων, μπορείτε απλά να αντικαταστήσετε τις δύο απαντήσεις σας και στις δύο εξισώσεις για να βεβαιωθείτε ότι λειτουργούν. Ετσι:
   • Αντικαταστήστε (3, -1/6) στη θέση (x, y) στην εξίσωση 3x + 6y = 8.
     • 3(3) + 6(-1/6) = 8.
     • 9 - 1 = 8.
     • 8 = 8.
   • Αντικαταστήστε (3, -1/6) στη θέση (x, y) στην εξίσωση x - 6y = 4.
     • 3 - (6 * -1/6) =4.
     • 3 - - 1 = 4.
     • 3 + 1 = 4.
     • 4 = 4.

Μέθοδος 3 από 4: Επίλυση με πολλαπλασιασμό

1. 

   Γράψτε τις εξισώσεις το ένα πάνω στο άλλο. Γράψτε μια εξίσωση πάνω από την άλλη ευθυγραμμίζοντας τις μεταβλητές x και y και όλους τους αριθμούς. Όταν χρησιμοποιείτε τη μέθοδο πολλαπλασιασμού, καμία από τις μεταβλητές δεν θα έχει αντίστοιχους συντελεστές - προς το παρόν.
   • 3x + 2y = 10.
   • 2x - y = 2.

2. 

   Πολλαπλασιάστε μία ή και τις δύο εξισώσεις έως ότου μία από τις μεταβλητές και στους δύο όρους έχει ίσους συντελεστές. Τώρα, πολλαπλασιάστε μία ή και τις δύο εξισώσεις με έναν αριθμό που κάνει μία από τις μεταβλητές να έχει τον ίδιο συντελεστή. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη εξίσωση με 2, έτσι ώστε η μεταβλητή -y γίνεται -2y και είναι ίση με τον πρώτο συντελεστή y. Δείτε πώς να το κάνετε:
   • 2 (2x - y = 2).
   • 4x - 2y = 4.

3. 

   Προσθέστε ή αφαιρέστε τις εξισώσεις. Τώρα, απλώς χρησιμοποιήστε τη μέθοδο προσθήκης ή αφαίρεσης και στις δύο εξισώσεις, με βάση ποια μέθοδο θα εξαλείψει τη μεταβλητή με τον ίδιο συντελεστή. Δεδομένου ότι εργάζεστε με τα 2y και -2y, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο προσθήκης, επειδή το 2y + -2y είναι ίσο με το 0. Εάν εργάζεστε με τα 2y και +2y, τότε θα χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αφαίρεσης. Δείτε πώς μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο προσθήκης για να εξαλείψετε μία από τις μεταβλητές:
   • 3x + 2y = 10.
   • + 4x - 2y = 4.
   • 7x + 0 = 14.
   • 7x = 14.

4. 

   Λύστε για τον υπόλοιπο όρο. Απλώς αποφασίστε να βρείτε την τιμή όρου που δεν διαγράψατε. Εάν 7x = 14, τότε x = 2.

5. 

   Αντικαταστήστε τον όρο πίσω στην εξίσωση για να βρείτε την αξία του πρώτου όρου. Αντικαταστήστε πίσω σε μία από τις αρχικές εξισώσεις για επίλυση για τον άλλο όρο. Πάρτε την ευκολότερη εξίσωση για να κάνετε ταχύτερα.
   • x = 2 -> 2x - y = 2.
   • 4 - y = 2.
   • -y = -2.
   • y = 2.
   • Λύσατε το σύστημα εξισώσεων πολλαπλασιασμό. (x, y) = (2, 2)

6. 

   Ελεγξε την απάντησή σου. Για να επαληθεύσετε την απάντησή σας, αντικαταστήστε τις δύο τιμές που βρήκατε πίσω στις αρχικές εξισώσεις και δείτε ότι έχετε τις σωστές τιμές.
   • Αντικαταστήστε (2, 2) στη θέση (x, y) στην εξίσωση 3x + 2y = 10.
   • 3(2) + 2(2) = 10.
   • 6 + 4 = 10.
   • 10 = 10.
   • Αντικαταστήστε το (2, 2) στη θέση του (x, y) στην εξίσωση 2x - y = 2.
   • 2(2) - 2 = 2.
   • 4 - 2 = 2.
   • 2 = 2.

Μέθοδος 4 από 4: Επίλυση με αντικατάσταση

1. 

   Απομονώστε μια μεταβλητή. Η μέθοδος υποκατάστασης είναι ιδανική όταν ένας από τους συντελεστές σε μία από τις εξισώσεις είναι ίσος με έναν. Έτσι, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να απομονώσετε την απλή μεταβλητή συντελεστή στη μία πλευρά της εξίσωσης για να βρείτε την τιμή της.
   • Εάν εργάζεστε με τις εξισώσεις 2x + 3y = 9 και x + 4y = 2, μπορείτε να απομονώσετε το x στη δεύτερη εξίσωση.
   • x + 4y = 2.
   • x = 2 - 4y.

2. 

   Αντικαταστήστε την τιμή της μεταβλητής που απομονώσατε πίσω στην άλλη εξίσωση. Πάρτε την τιμή που βρέθηκε όταν απομονώσατε τη μεταβλητή και αντικαταστήστε τη στη θέση της μεταβλητής στην εξίσωση που δεν χειραγωγηθήκατε. Δεν θα μπορείτε να λύσετε τίποτα αν αντικαταστήσετε την τιμή στην εξίσωση που χειρίζατε. Δείτε πώς να το κάνετε:
   • x = 2 - 4y -> 2x + 3y = 9.
   • 2 (2 - 4y) + 3y = 9.
   • 4 - 8y + 3y = 9.
   • 4 - 5y = 9.
   • -5y = 9 - 4.
   • -5y = 5.
   • -y = 1.
   • y = - 1.

3. 

   Λύστε για τις υπόλοιπες μεταβλητές. Τώρα που γνωρίζετε ότι y = - 1, απλώς αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στην απλούστερη εξίσωση για να βρείτε την τιμή του x. Ετσι:
   • y = -1 -> x = 2 - 4y.
   • x = 2 - 4 (-1).
   • x = 2 - -4.
   • x = 2 + 4.
   • x = 6.
   • Έχετε λύσει το σύστημα εξισώσεων με αντικατάσταση. (x, y) = (6, -1).

4. 

   Ελέγξτε την εργασία σας. Για να βεβαιωθείτε ότι έχετε λύσει σωστά το σύστημα εξισώσεων, μπορείτε απλά να αντικαταστήσετε τις τιμές που βρέθηκαν και στις δύο εξισώσεις για να δείτε αν το αποτέλεσμα είναι σωστό:
   • Αντικαταστήστε (6, -1) στη θέση (x, y) στην εξίσωση 2x + 3y = 9.
     • 2(6) + 3(-1) = 9.
     • 12 - 3 = 9.
     • 9 = 9.
   • Αντικατάσταση (6, -1) στη θέση (x, y) στην εξίσωση x + 4y = 2.
   • 6 + 4(-1) = 2.
   • 6 - 4 = 2.
   • 2 = 2.

Συμβουλές

• Θα πρέπει να μπορείτε να επιλύσετε οποιαδήποτε συστήματα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις μεθόδους προσθήκης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού ή αντικατάστασης, αλλά μια μέθοδος είναι γενικά ευκολότερη ανάλογα με τις εξισώσεις.