Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλές
• Προειδοποιήσεις

Η απλοποίηση μιας τετραγωνικής ρίζας δεν είναι τόσο δύσκολη όσο ακούγεται. Για αυτό, πρέπει απλώς να υπολογίσετε τον αριθμό και να αποκτήσετε τις ρίζες οποιουδήποτε τέλειου τετραγώνου που βρίσκετε. Μόλις απομνημονεύσετε μερικά κοινά τέλεια τετράγωνα και ξέρετε πώς να συντελέσετε έναν αριθμό, είστε έτοιμοι να απλοποιήσετε μια τετραγωνική ρίζα.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Απλούστευση μιας τετραγωνικής ρίζας με παράταξη factoring

1. 

   Κατανοήστε το factoring. Ο στόχος της απλοποίησης μιας τετραγωνικής ρίζας είναι να το ξαναγράψετε με έναν απλό τρόπο για να κατανοήσετε και να χρησιμοποιήσετε σε μαθηματικά προβλήματα. Το Factoring χωρίζει έναν μεγάλο αριθμό σε δύο ή περισσότερα παράγοντες μικρότερα, για παράδειγμα, μετατρέποντας το 9 σε 3 x 3. Μόλις ανακαλύψουμε αυτούς τους παράγοντες, μπορούμε να ξαναγράψουμε την τετραγωνική ρίζα σε απλούστερη μορφή, μερικές φορές ακόμη και να την μετατρέψουμε σε κανονικό ακέραιο. Για παράδειγμα, √9 = √ (3x3) = 3. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα για να μάθετε πώς να κάνετε αυτήν τη διαδικασία με πιο περίπλοκες τετραγωνικές ρίζες.

2. 

   
   
   Διαιρέστε τον μικρότερο δυνατό αριθμό. Εάν ο αριθμός κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι ίσος, διαιρέστε τον με 2. Εάν είναι περίεργος, προσπαθήστε να τον διαιρέσετε με 3. Εάν κανένα από αυτά δεν σας δίνει ακέραιο, μεταβείτε σε αυτήν τη λίστα δοκιμάζοντας τους άλλους πρώτους έως ότου λάβετε έναν ακέραιο ως αποτέλεσμα. Απλά πρέπει να δοκιμάσετε τους πρώτους αριθμούς, καθώς όλοι οι άλλοι έχουν πρωταρχικούς παράγοντες. Για παράδειγμα, δεν χρειάζεται να δοκιμάσετε το 4, επειδή οποιοσδήποτε αριθμός διαιρούμενος από το 4 διαιρείται επίσης με 2, τον οποίο έχετε ήδη δοκιμάσει.
   • 2.
   • 3.
   • 5.
   • 7.
   • 11.
   • 13.
   • 17.

3. 

   
   
   Ξαναγράψτε την τετραγωνική ρίζα ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού. Αφήστε τα πάντα κάτω από τη ρίζα και φροντίστε να συμπεριλάβετε και τους δύο παράγοντες. Για παράδειγμα, εάν προσπαθείτε να απλοποιήσετε το √98, ακολουθήστε το παραπάνω βήμα για να βρείτε αυτό 98 ÷ 2 = 49, έτσι 98 = 2 x 49. Ξαναγράψτε το "98" στην αρχική τετραγωνική ρίζα χρησιμοποιώντας αυτές τις πληροφορίες: √98 = √ ( 2 x 49).

4. 

   
   
   Επαναλάβετε με έναν από τους υπόλοιπους αριθμούς. Προτού μπορέσουμε να απλοποιήσουμε τη ρίζα, συνεχίζουμε να λαμβάνουμε υπόψη μέχρι να το σπάσουμε σε δύο ίδια μέρη. Αυτό έχει νόημα αν σκεφτείτε τι σημαίνει μια τετραγωνική ρίζα: ο όρος √ (2 x 2) σημαίνει "τον αριθμό που μπορείτε να πολλαπλασιάσετε μόνοι σας που είναι ίσος με 2 x 2." Προφανώς, αυτός ο αριθμός είναι 2! Έχοντας υπόψη αυτόν τον στόχο, ας επαναλάβουμε τα παραπάνω βήματα για το παράδειγμα του προβλήματός μας, √ (2 x 49):
   • Το 2 έχει ήδη ληφθεί υπόψη στο μέγιστο (με άλλα λόγια, είναι ένας από αυτούς τους πρώτους αριθμούς από την παραπάνω λίστα). Ας το αγνοήσουμε για τώρα και ας προσπαθήσουμε να χωρίσουμε το 49 αντ 'αυτού.
   • Το 49 δεν μπορεί να διαιρεθεί εξίσου με 2, 3 ή 5. Μπορείτε να το δοκιμάσετε με μια αριθμομηχανή ή διαιρώντας το. Επειδή αυτοί οι αριθμοί δεν αποδίδουν ολόκληρα αποτελέσματα, ας τους αγνοήσουμε και συνεχίστε να προσπαθείτε.
   • 49 αυτός μπορεί διαιρείται ομοιόμορφα με 7. 49 ÷ 7 = 7, επομένως 49 = 7 x 7.
   • Ξαναγράψτε το πρόβλημα: √ (2 x 49) = √ (2 x 7 x 7).

5. 

   Ολοκληρώστε την απλοποίηση "βγάζοντας" έναν ακέραιο. Μόλις αναλύσετε το πρόβλημα σε δύο πανομοιότυπους παράγοντες, μπορείτε να το μετατρέψετε σε έναν κοινό ακέραιο έξω από την τετραγωνική ρίζα. Αφήστε όλους τους άλλους παράγοντες μέσα σε αυτό. Για παράδειγμα, √ (2 x 7 x 7) = √ (2) √ (7 x 7) = √ (2) x 7 = 7√ (2).
   • Ακόμα κι αν είναι δυνατόν να συνεχίσετε το factoring, δεν χρειάζεται, αφού βρείτε δύο πανομοιότυπους παράγοντες. Για παράδειγμα, √ (16) = √ (4 x 4) = 4. Εάν συνεχίσουμε να λαμβάνουμε υπόψη, θα καταλήξαμε στην ίδια απάντηση, αλλά κάνοντας μια μεγαλύτερη δουλειά. √ (16) = √ (4 x 4) = √ (2 x 2 x 2 x 2) = √ (2 x 2) √ (2 x 2) = 2 x 2 = 4.

6. 

   Πολλαπλασιάστε ολόκληρους τους αριθμούς, εάν υπάρχουν περισσότεροι από ένας. Για μερικές μεγάλες τετραγωνικές ρίζες, μπορείτε να απλοποιήσετε περισσότερες από μία φορές. Εάν συμβεί αυτό, πολλαπλασιάστε τους ακέραιους αριθμούς για να φτάσετε στο τελικό πρόβλημα. Εδώ είναι ένα παράδειγμα:
   • √180 = √ (2 x 90).
   • √180 = √ (2 x 2 x 45).
   • √180 = 2√45, αλλά αυτό μπορεί ακόμα να απλοποιηθεί.
   • √180 = 2√ (3 x 15).
   • √180 = 2√ (3 x 3 x 5).
   • √180 = (2)(3√5).
   • √180 = 6√5.

7. 

   Γράψτε "δεν μπορεί να απλοποιηθεί" εάν δεν υπάρχουν δύο πανομοιότυποι παράγοντες. Ορισμένες τετραγωνικές ρίζες είναι ήδη στην απλούστερη μορφή. Εάν συνεχίσετε να λαμβάνετε υπόψη έως ότου κάθε όρος κάτω από την τετραγωνική ρίζα να είναι ένας πρωταρχικός αριθμός (αναφέρεται σε ένα από τα παραπάνω βήματα) και δεν υπάρχουν δύο από τους ίδιους αριθμούς, δεν υπάρχει τίποτα που μπορείτε να κάνετε. Ενδέχεται να έχετε λάβει μια ερώτηση τέχνασμα! Για παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να απλοποιήσουμε το √70:
   • 70 = 35 x 2, έτσι √70 = √ (35 x 2).
   • 35 = 7 x 5, έτσι √ (35 x 2) = √ (7 x 5 x 2).
   • Και οι τρεις αριθμοί είναι πρώτοι, οπότε δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη. Επιπλέον, είναι όλα διαφορετικά, επομένως δεν είναι δυνατό να "αφαιρέσετε" έναν ακέραιο. √70 δεν μπορεί να απλοποιηθεί.

Μέθοδος 2 από 3: Γνωρίζοντας τα τέλεια τετράγωνα

1. 

   Απομνημονεύστε μερικά τέλεια τετράγωνα. Το τετράγωνο ενός αριθμού ή ο πολλαπλασιασμός του από μόνος του δημιουργεί ένα τέλειο τετράγωνο. Για παράδειγμα, το 25 είναι ένα τέλειο τετράγωνο επειδή το 5 x 5 ή το 5 είναι ίσο με το 25. Η απομνημόνευση τουλάχιστον των πρώτων δέκα τέλειων τετραγώνων μπορεί να σας βοηθήσει να αναγνωρίσετε γρήγορα και να απλοποιήσετε τέλειες τετραγωνικές ρίζες. Εδώ είναι τα πρώτα 10 τέλεια τετράγωνα:
   • 1 = 1.
   • 2 = 4.
   • 3 = 9.
   • 4 = 16.
   • 5 = 25.
   • 6 = 36.
   • 7 = 49.
   • 8 = 64.
   • 9 = 81.
   • 10 = 100.

2. 

   Βρείτε την τετραγωνική ρίζα ενός τέλειου τετραγώνου. Εάν αναγνωρίσετε ένα τέλειο τετράγωνο κάτω από ένα σύμβολο τετραγωνικής ρίζας, μπορείτε να το κάνετε αμέσως την τετραγωνική ρίζα σας και να απαλλαγείτε από το ριζικό σύμβολο (√). Για παράδειγμα, εάν δείτε τον αριθμό 25 κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας, γνωρίζετε ήδη ότι η απάντηση είναι 5 επειδή το 25 είναι ένα τέλειο τετράγωνο. Εδώ είναι η ίδια λίστα παραπάνω, αυτή τη φορά από την τετραγωνική ρίζα στην απάντηση:
   • √1 = 1.
   • √4 = 2.
   • √9 = 3.
   • √16 = 4.
   • √25 = 5.
   • √36 = 6.
   • √49 = 7.
   • √64 = 8.
   • √81 = 9.
   • √100 = 10.

3. 

   Προσθέστε τους αριθμούς σε τέλεια τετράγωνα. Χρησιμοποιήστε τα τέλεια τετράγωνα για να σας βοηθήσουν όταν ακολουθείτε τη μέθοδο factoring κατά την απλοποίηση των τετραγώνων ριζών. Εάν παρατηρήσετε οποιοδήποτε τρόπο για να πάρετε ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί να εξοικονομήσετε χρόνο και προσπάθεια. Ακολουθούν μερικές συμβουλές:
   • √50 = √ (25 x 2) = 5√2. Εάν τα δύο τελευταία ψηφία ενός αριθμού λήγουν σε 25, 50 ή 75, μπορείτε πάντα να λάβετε 25.
   • √1700 = √ (100 x 17) = 10√17. Εάν τα δύο τελευταία ψηφία λήγουν στο 00, μπορείτε πάντα να λάβετε 100.
   • √72 = √ (9 x 8) = 3√8. Η αναγνώριση πολλαπλών 9 είναι συχνά χρήσιμη. Εδώ είναι ένα τέχνασμα για αυτό: εάν, κατά την προσθήκη όλα τα ψηφία ενός αριθμού, το αποτέλεσμα είναι 9, έτσι το 9 θα είναι πάντα ένας παράγοντας.
   • √12 = √ (4 x 3) = 2√3. Δεν υπάρχει ειδικό κόλπο εδώ, αλλά είναι συνήθως εύκολο να ελέγξετε εάν ένας μικρός αριθμός διαιρείται με το 4. Θυμηθείτε αυτό όταν ψάχνετε παράγοντες.

4. 

   Βγάλτε έναν αριθμό με περισσότερο από ένα τέλειο τετράγωνο. Εάν οι παράγοντες ενός αριθμού περιέχουν περισσότερα από ένα τέλεια τετράγωνα, μετακινήστε τα όλα έξω από το ριζικό σύμβολο. Εάν βρείτε αρκετά τέλεια τετράγωνα κατά τη διαδικασία απλοποίησης, μετακινήστε όλες τις τετραγωνικές ρίζες τους έξω από το σύμβολο √ και πολλαπλασιάστε τις. Για παράδειγμα, ας απλοποιήσουμε √72:
   • √72 = √ (9 x 8).
   • √72 = √ (9 x 4 x 2).
   • √72 = √ (9) x √ (4) x √ (2).
   • √72 = 3 x 2 x √2.
   • √72 = 6√2.

Μέθοδος 3 από 3: Γνωρίζοντας την ορολογία

1. 

   Να γνωρίζετε ότι το ριζικό σύμβολο (√) είναι το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα √25, το "√" είναι το σύμβολο της ρίζας.

2. 

   Να γνωρίζετε ότι η ρίζα είναι ο αριθμός μέσα στο ριζικό σύμβολο. Πρέπει να βρείτε την τετραγωνική ρίζα αυτού του αριθμού. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα √25, το "25" είναι η ρίζα.

3. 

   Να γνωρίζετε ότι ο συντελεστής είναι ο αριθμός έξω από το ριζικό σύμβολο. Αυτός είναι ο αριθμός με τον οποίο πολλαπλασιάζεται η τετραγωνική ρίζα. βρίσκεται στα αριστερά του συμβόλου √. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα 7√2, το "7" είναι ο συντελεστής.

4. 

   Γνωρίστε ότι ένας παράγοντας είναι ένας αριθμός που χωρίζει έναν άλλο ομοιόμορφα, χωρίς να αφήνει ένα υπόλοιπο. Για παράδειγμα, το 2 είναι συντελεστής 8 επειδή 8 ÷ 4 = 2, αλλά το 3 δεν είναι συντελεστής του 8 επειδή το 8 ÷ 3 δεν έχει ως αποτέλεσμα ακέραιο. Ως άλλο παράδειγμα: το 5 είναι ένας συντελεστής 25, επειδή 5 x 5 = 25.

5. 

   Κατανοήστε τι σημαίνει απλοποίηση μιας τετραγωνικής ρίζας. Αυτό σημαίνει απλώς την απομάκρυνση και την αφαίρεση τέλειων τετραγώνων από τη ρίζα, τη μετακίνησή τους προς τα αριστερά του συμβόλου στελέχους και την έξοδο από τον άλλο παράγοντα μέσα στο σύμβολο. Εάν ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο, το ριζικό σύμβολο θα εξαφανιστεί αφού γράψετε τη ρίζα. Για παράδειγμα, το √98 μπορεί να απλοποιηθεί σε 7√2.

Συμβουλές

• Ένας τρόπος για να βρείτε τέλειες τετραγωνικές ρίζες που συντελούν σε έναν αριθμό είναι να κοιτάξετε τη λίστα με τα τέλεια τετράγωνα, ξεκινώντας από τον επόμενο μικρότερο αριθμό σε σύγκριση με τη ρίζα σας. Για παράδειγμα, όταν αναζητάτε το τέλειο τετράγωνο που χωράει στο 27, μπορείτε να ξεκινήσετε από το 25 και να μετακινηθείτε προς τα κάτω στο 16, σταματώντας στις 9, όταν διαπιστώσετε ότι είναι ένας παράγοντας 27.

Προειδοποιήσεις

• Η απλοποίηση δεν είναι η ίδια με την αξιολόγηση. Σε κανένα σημείο αυτής της διαδικασίας δεν πρέπει να λάβετε έναν αριθμό με ένα δεκαδικό ψηφίο!
• Οι αριθμομηχανές μπορεί να είναι χρήσιμες για μεγάλους αριθμούς, αλλά όσο περισσότερο ασκείτε να το κάνετε μόνοι σας, τόσο πιο εύκολο θα γίνει.