Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλές

Οι μαθηματικοί και οι προγραμματιστές γραφικών συχνά πρέπει να βρουν τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων. Ευτυχώς, ο τύπος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό αυτής της γωνίας δεν απαιτεί τίποτα περισσότερο από ένα απλό κλιματικό προϊόν. Αν και ο συλλογισμός πίσω από αυτόν τον τύπο είναι πιο κατανοητός όταν χρησιμοποιούμε δισδιάστατα διανύσματα, μπορούμε εύκολα να το προσαρμόσουμε σε διανύσματα με οποιονδήποτε αριθμό συστατικών.

Βήματα

Μέρος 1 από 2: Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

1. 

   Προσδιορίστε τα δύο διανύσματα. Γράψτε όλες τις γνωστές πληροφορίες για τα δύο διανύσματα. Για τους σκοπούς αυτού του σεμιναρίου, θα υποθέσουμε ότι γνωρίζετε τα διανύσματα μόνο από την άποψη των διαστατικών συντεταγμένων τους (ονομάζονται επίσης συστατικά). Εάν γνωρίζετε ήδη το μονάδα μέτρησης ή πρότυπο από αυτά τα διανύσματα (δηλαδή το μήκος τους), μπορείτε να παραλείψετε μερικά από τα παρακάτω βήματα.
   • Παράδειγμα: θα εξετάσουμε τα διαστατικά διανύσματα = (2,2) και = (0,3). Αυτά τα δύο διανύσματα μπορούν να ξαναγραφούν ως = 2Εγώ + 2ι ε = 0Εγώ + 3ι = 3ι.
   • Παρόλο που το παράδειγμά μας χρησιμοποιεί δύο δισδιάστατα διανύσματα, μπορούμε να εφαρμόσουμε τις ακόλουθες οδηγίες σε διανύσματα με οποιονδήποτε αριθμό συστατικών.

2. 

   
   
   Γράψτε τον τύπο συνημίτονο. Για να βρούμε την τιμή της γωνίας θ μεταξύ των δύο διανυσμάτων, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το συνημίτονο αυτής της γωνίας. Μπορείτε να αναζητήσετε και να μάθετε τον τύπο λεπτομερώς ή απλά να τον γράψετε όπως είναι παρακάτω:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| αντιπροσωπεύει το μονάδα μέτρησης (ή μήκος) του διανύσματος ".
   • • αντιπροσωπεύει το βαθμιαίο προϊόν (ή εσωτερικό προϊόν) των δύο φορέων.

3. 

   
   
   Υπολογίστε το συντελεστή κάθε διανύσματος. Φανταστείτε ένα σωστό τρίγωνο που σχηματίζεται από το στοιχείο Χ ενός διανύσματος, το συστατικό του ε και τον ίδιο τον φορέα. Σε αυτό το τρίγωνο, ο φορέας παίζει το ρόλο της υπότασης. Επομένως, για να βρούμε το μήκος του, θα εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ως αποτέλεσμα, αυτός ο τύπος εφαρμόζεται εύκολα σε διανύσματα με οποιονδήποτε αριθμό συστατικών.
   • || u || = εσύ₁ + εσύ₂. Εάν ο φορέας έχει περισσότερα από δύο στοιχεία, συνεχίστε να προσθέτετε + u₃ + εσύ₄ +...
   • Επομένως, για ένα δισδιάστατο διάνυσμα, θα πρέπει || u || = √ (u₁ + εσύ₂).
   • Στο παράδειγμά μας, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Υπολογίστε το κλιμακωτό προϊόν μεταξύ των δύο διανυσμάτων. Πρέπει ήδη να γνωρίζετε τη μέθοδο πολλαπλασιασμού διανυσμάτων, που ονομάζεται επίσης βαθμιαίο προϊόν. Για να υπολογίσουμε το κλιμακωτό προϊόν δύο διανυσμάτων σε σχέση με τα συστατικά τους, πολλαπλασιάζουμε τα συστατικά στην ίδια κατεύθυνση μεταξύ τους και στη συνέχεια προσθέτουμε τα αποτελέσματα αυτών των προϊόντων.
   • Εάν εργάζεστε με προγράμματα γραφικών υπολογιστών, επισκεφτείτε πρώτα την ενότητα "Συμβουλές" πριν συνεχίσετε.
   • Σε μαθηματικούς όρους, • = u₁β₁ + εσύ₂β₂, όπου u = (u₁εσύ₂). Εάν ο φορέας σας έχει περισσότερα από δύο στοιχεία, συνεχίστε να προσθέτετε + u₃β₃ + εσύ₄β₄...
   • Στο παράδειγμά μας, • = u₁β₁ + εσύ₂β₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Αυτή είναι η τιμή του κλιμακωτού προϊόντος μεταξύ των διανυσμάτων και.

5. 

   Αντικαταστήστε αυτά τα αποτελέσματα στον τύπο συνημίτονο. Θυμηθείτε, cosθ = (•) / (|||| || ||). Έχουμε ήδη υπολογίσει το κλιμακωτό προϊόν και τη μονάδα των δύο διανυσμάτων. Τώρα, ας αντικαταστήσουμε αυτές τις τιμές στον τύπο και υπολογίζουμε το συνημίτονο της γωνίας.
   • Στο παράδειγμά μας, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Βρείτε τη γωνία με βάση το συνημίτονό σας.
   Χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση τόξου ή cos της αριθμομηχανής σας για να προσδιορίσετε τη γωνία θ από την τιμή συνημίτητός σας. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ενδέχεται να μπορείτε να βρείτε την τιμή γωνίας με βάση τον κύκλο μονάδας.
   • Στο παράδειγμά μας, cosθ = √2 / 2. Πληκτρολογήστε "arccos (√2 ​​/ 2)" στον υπολογιστή σας για να βρείτε τη γωνία. Μια άλλη επιλογή είναι να αναζητήσετε τη γωνία θ του κύκλου μονάδας όπου cosθ = √2 / 2: αυτό ισχύει θ = /₄ ή 45 °.
   • Συγκεντρώνοντας όλες τις πληροφορίες, θα έχουμε τον τελικό τύπο θ = αρκοσίνη ((•) / (|||| || ||))

Μέρος 2 από 2: Καθορισμός του τύπου για τον υπολογισμό της γωνίας

1. 

   Κατανοήστε τον σκοπό του τύπου. Ο τύπος που χρησιμοποιήσαμε για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων δεν προήλθε από προϋπάρχοντες κανόνες. Αντίθετα, δημιουργήθηκε ως ορισμός του κλιμακωτού προϊόντος μεταξύ δύο διανυσμάτων και της γωνίας μεταξύ τους. Ωστόσο, αυτή η απόφαση δεν είναι αυθαίρετη. Με μια πιο προσεκτική ματιά στη βασική γεωμετρία, μπορούμε να δούμε γιατί αυτός ο τύπος οδηγεί σε τόσο χρήσιμους και διαισθητικούς ορισμούς.
   • Τα ακόλουθα παραδείγματα χρησιμοποιούν δισδιάστατα διανύσματα επειδή είναι ο πιο διαισθητικός τύπος για εργασία. Διανύσματα τριών ή περισσοτέρων διαστάσεων ορίζουν τις ιδιότητές τους από τον γενικό τύπο (επίσης με παρόμοιο τρόπο).

2. 

   Αναθεωρήστε τον νόμο των συνημίτων. Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, λάβετε υπόψη τη γωνία θ που σχηματίζεται από τις πλευρές ο και σι και το πλάι ντο απέναντι από αυτή τη γωνία. Σύμφωνα με τον συνημίτονο νόμο, c = a + b -2abζώνη(θ). Η επίδειξη αυτού του τύπου μπορεί εύκολα να ληφθεί από τη γνώση της βασικής γεωμετρίας.

3. 

   Συνδέστε τα δύο διανύσματα για να σχηματίσετε ένα τρίγωνο. Σχεδιάστε ένα ζευγάρι διανυσμάτων και, με μια γωνία θ μεταξύ τους. Στη συνέχεια, σχεδιάστε ένα τρίτο διάνυσμα μεταξύ τους για να σχηματίσετε ένα τρίγωνο. Με άλλα λόγια, σχεδιάστε το διάνυσμα έτσι ώστε + =, ή απλά = -.

4. 

   Εφαρμόστε τον συνημίτονο νόμο σε αυτό το τρίγωνο. Αντικαταστήστε το μήκος των πλευρών μας διάνυσμα τρίγωνο (δηλαδή, η διανυσματική ενότητα) στον τύπο για τον συνημίτονο νόμο:
   • || (α - β) || = || α || + || β || - 2 || α || || β ||ζώνη(θ)

5. 

   Ξαναγράψτε τον τύπο χρησιμοποιώντας βαθμιαία προϊόντα. Θυμηθείτε ότι το προϊόν κουκκίδων είναι η μεγέθυνση ενός φορέα που προβάλλεται σε άλλο. Το κλιματικό προϊόν ενός διανύσματος δεν απαιτεί προβολή επειδή δεν υπάρχει αλλαγή κατεύθυνσης. Αυτό σημαίνει ότι • = || α ||. Με βάση αυτές τις πληροφορίες, ας ξαναγράψουμε την εξίσωση του νόμου των συνημίτων:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || α || || β ||ζώνη(θ)

6. 

   Απλοποιήστε τον τύπο. Αναπτύξτε τα προϊόντα στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και, στη συνέχεια, απλοποιήστε το μέχρι να φτάσετε στον τύπο που γνωρίζουμε για τον υπολογισμό των γωνιών.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || α || || β ||ζώνη(θ)
   • - • - • = -2 || α || || β ||ζώνη(θ)
   • -2 (•) = -2 || α || || β ||ζώνη(θ)
   • • = || α || || β ||ζώνη(θ)

Συμβουλές

• Για γρήγορη ανάλυση, εφαρμόστε τον ακόλουθο τύπο σε οποιοδήποτε δισδιάστατο ζεύγος διανυσμάτων: cosθ = (u₁ • v₁ + εσύ₂ • v₂) / (√ (u₁ • εσύ₂) • √ (εδ₁ • v₂)).
• Εάν εργάζεστε με προγράμματα γραφικών υπολογιστών, πιθανότατα θα πρέπει να γνωρίζετε μόνο την κατεύθυνση των διανυσμάτων και όχι το μήκος τους. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα για να απλοποιήσετε τις εξισώσεις και να επιταχύνετε το πρόγραμμά σας:
  • Ομαλοποιήστε κάθε διάνυσμα, δηλαδή βρείτε το διάνυσμα μονάδων που έχει την ίδια κατεύθυνση με το αρχικό διάνυσμα. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε κάθε στοιχείο του διανύσματος με τη διανυσματική ενότητα.
  • Υπολογίστε το κλιμακωτό προϊόν των κανονικοποιημένων διανυσμάτων και όχι των αρχικών διανυσμάτων.
  • Δεδομένου ότι ο συντελεστής (δηλαδή, το μήκος) των κανονικοποιημένων διανυσμάτων είναι ενιαίος, μπορούμε να τους αφήσουμε εκτός του τύπου. Η τελική εξίσωση για τον υπολογισμό των γωνιών θα είναι τόξα (•).
• Με βάση τον τύπο του νόμου των συνημιτόνων, μπορούμε γρήγορα να ανακαλύψουμε εάν η εν λόγω γωνία είναι οξεία ή ασαφής. Ξεκινήστε με cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Η αριστερή και η δεξιά πλευρά της εξίσωσης πρέπει να έχουν το ίδιο σύμβολο (θετικό ή αρνητικό).
  • Δεδομένου ότι τα μήκη είναι πάντα θετικά, το cosθ θα έχει πάντα το ίδιο σημάδι με το κλιματικό προϊόν.
  • Επομένως, εάν το βαθμωτό προϊόν είναι θετικό, το cosθ θα είναι θετικό. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο του κύκλου μονάδας, δηλαδή θ <π / 2 ή 90 °. Επομένως, η γωνία είναι οξεία.
  • Εάν το βαθμωτό προϊόν είναι αρνητικό, το cosθ είναι αρνητικό. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο του κύκλου μονάδας, δηλαδή, π / 2 <θ ≤ π ή 90 ° <θ ≤ 180 °. Επομένως, η γωνία είναι ασαφής.