Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλές
• Προειδοποιήσεις

Η εκμάθηση του τρόπου απλοποίησης των αλγεβρικών εκφράσεων είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την εξάσκηση της βασικής άλγεβρας, εκτός από το ότι είναι ένα εξαιρετικά πολύτιμο εργαλείο για όλους τους μαθηματικούς.Η απλοποίηση επιτρέπει σε έναν μαθηματικό να κάνει σύνθετες, μακροχρόνιες ή ακατάλληλες εκφράσεις σε απλούστερες ή πιο βολικές μορφές, ενώ παραμένει ισοδύναμη. Η ικανότητα βασικής απλούστευσης είναι πολύ εύκολη στην εκμάθηση - ακόμη και για εκείνους που είναι αντίθετοι στα μαθηματικά. Ακολουθώντας μερικά απλά βήματα, είναι δυνατόν να απλοποιήσετε πολλούς από τους πιο συνηθισμένους τύπους αλγεβρικών εκφράσεων χωρίς να έχετε κάποιο είδος μαθηματικής γνώσης. Διαβάστε το Βήμα 1 για να ξεκινήσετε!

Βήματα

Κατανόηση σημαντικών εννοιών

1. 

   Ορίστε "σχετικούς όρους" με μεταβλητές και δυνάμεις. Στην άλγεβρα, οι "όμοιοι αριθμοί" έχουν την ίδια διαμόρφωση μεταβλητών, αυξάνοντας τις ίδιες δυνάμεις. Με άλλα λόγια, για να είναι «σχετικοί» δύο όροι, πρέπει να έχουν τις ίδιες μεταβλητές, ή καμία, και ο καθένας πρέπει να αυξηθεί στην ίδια ισχύ, ή καμία. Η σειρά των μεταβλητών εντός του όρου δεν έχει σημασία.
   • Για παράδειγμα, τα 3x και 4x είναι σχετικοί όροι, επειδή ο καθένας περιέχει τη μεταβλητή x που αυξάνεται στη δεύτερη ισχύ. Ωστόσο, τα x και x δεν είναι σχετικοί όροι, καθώς ο καθένας έχει x αυξηθεί σε διαφορετική ισχύ. Ομοίως, τα -3yx και 5xz δεν είναι σχετικοί όροι, επειδή ο καθένας έχει ένα διαφορετικό σύνολο μεταβλητών.

2. 

   
   
   Παράγοντας όταν γράφετε αριθμούς ως προϊόν δύο παραγόντων. Το Factoring είναι η έννοια της αναπαράστασης ενός δεδομένου αριθμού ως προϊόν δύο παραγόντων που πολλαπλασιάζονται μαζί. Οι αριθμοί μπορούν να έχουν περισσότερους από ένα συντελεστές - για παράδειγμα, ο αριθμός 12 μπορεί να σχηματιστεί από 1 × 12, 2 × 6 και 3 × 4, έτσι ώστε να είναι δυνατή η δήλωση ότι 1, 2, 3, 4, 6 και 12 είναι όλοι οι παράγοντες του 12. Ένας άλλος τρόπος σκέψης είναι να θεωρήσουμε ότι οι παράγοντες ενός αριθμού είναι εκείνοι οι αριθμοί με τους οποίους είναι εξίσου διαιρετός.
   • Για παράδειγμα, αν θέλουμε τον παράγοντα 20, μπορούμε να τον γράψουμε ως 4×5.
   • Σημειώστε ότι οι μεταβλητοί όροι μπορούν επίσης να ληφθούν υπόψη. -20x, για παράδειγμα, μπορεί να γραφτεί ως 4 (-5χ).
   • Οι πρωταρχικοί αριθμοί δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη επειδή διαιρούνται μόνο από τους ίδιους και από το 1.

3. 

   
   
   Χρησιμοποιήστε το ακρωνύμιο PEMDAS για να θυμάστε τη σειρά των λειτουργιών. Περιστασιακά, η απλοποίηση μιας έκφρασης δεν σημαίνει τίποτα περισσότερο από την εκτέλεση λειτουργιών σε αυτήν την έκφραση έως ότου αυτό δεν είναι πλέον δυνατό. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι σημαντικό να θυμάστε τη σειρά των λειτουργιών, ώστε να μην κάνετε αριθμητικά λάθη. Το ακρωνύμιο PEMDAS μπορεί να βοηθήσει πολύ όταν είναι απαραίτητο να θυμάστε τη σειρά των λειτουργιών - τα γράμματα αντιστοιχούν στους τύπους των λειτουργιών που πρέπει να εκτελεστούν, με τη σειρά:
   • Παρθές.
   • ΚΑΙεκθέτες.
   • Μυπερδιπλασιασμός.
   • ρεοραμα.
   • Οδιαγωνισμός.
   • μικρόδιείσδυση.

Μέθοδος 1 από 3: Συνδυασμός σχετικών όρων

1. 

   
   
   Γράψτε την εξίσωση σας. Οι απλούστερες αλγεβρικές εξισώσεις, εκείνες που περιλαμβάνουν μόνο μερικούς μεταβλητούς όρους με ακέραιους συντελεστές και χωρίς κλάσματα, ρίζες κ.λπ., μπορούν συχνά να επιλυθούν με λίγα μόνο βήματα. Όπως με τα περισσότερα μαθηματικά προβλήματα, το πρώτο βήμα στην απλοποίηση της εξίσωσης είναι να το γράψετε!
   • Ως παράδειγμα πρόβλημα, για τα επόμενα βήματα, θα εξετάσουμε την έκφραση 1 + 2x-3 + 4x.

2. 

   Προσδιορίστε σχετικούς όρους. Στη συνέχεια, αναζητήστε την εξίσωση σας για παρόμοιους όρους. Να θυμάστε ότι οι σχετικοί όροι έχουν τις ίδιες μεταβλητές και τους ίδιους εκθέτες.
   • Για παράδειγμα, ας προσδιορίσουμε σχετικούς όρους στην εξίσωση 1 + 2x-3 + 4x. Και τα 2x και 4x έχουν την ίδια μεταβλητή ανυψωμένη στον ίδιο εκθέτη (στην περίπτωση αυτή, το x δεν αυξάνεται σε καμία ισχύ). Επιπλέον, τα 1 και -3 είναι σχετικοί όροι, καθώς κανένας δεν έχει μεταβλητές. Έτσι, στην εξίσωση μας, 2x και 4x και 1 και -3 είναι σχετικοί όροι.

3. 

   Συνδυάστε σχετικούς όρους. Τώρα που έχετε προσδιορίσει σχετικούς όρους, μπορείτε να τους συνδυάσετε για να απλοποιήσετε την εξίσωση. Προσθέστε τους όρους (ή αφαιρέστε τους, στην περίπτωση αρνητικών όρων) για να μειώσετε κάθε σύνολο όρων με μεταβλητές και εκθέτες ίσους με έναν μοναδικό όρο.
   • Ας προσθέσουμε τους σχετικούς όρους στο παράδειγμά μας:
     • 2x + 4x = 6χ.
     • 1+(-3) = -2.

4. 

   Δημιουργήστε μια απλοποιημένη έκφραση από τους απλοποιημένους όρους σας. Αφού συνδυάσετε τους σχετικούς όρους, δημιουργήστε μια έκφραση από το σύνολο των νέων, απλοποιημένων όρων. Θα πρέπει να έχετε μια πιο απλή έκφραση, με έναν όρο για κάθε διαφορετικό σύνολο μεταβλητών και εκθετών στην αρχική έκφραση. Αυτή η νέα έκφραση είναι η ίδια με την πρώτη.
   • Στο παράδειγμά μας, οι απλουστευμένοι όροι είναι 6x και -2, οπότε η νέα έκφραση θα είναι 6x-2. Αυτή η απλοποιημένη έκφραση είναι η ίδια με την αρχική (1 + 2x-3 + 4x), αλλά μικρότερη και ευκολότερη στην επίλυση. Είναι επίσης απλούστερο να ληφθεί υπόψη, το οποίο, όπως θα δούμε παρακάτω, είναι μια άλλη σημαντική ικανότητα απλοποίησης.

5. 

   Τηρείτε τη σειρά των λειτουργιών όταν συνδυάζετε σχετικούς όρους. Σε εξαιρετικά απλές εκφράσεις όπως αυτή στο προηγούμενο παράδειγμα, η αναγνώριση των όρων είναι απλή. Ωστόσο, σε πιο σύνθετες εκφράσεις, όπως αυτές που περιλαμβάνουν όρους σε παρένθεση, κλάσματα και ρίζες, οι σχετικοί όροι που μπορούν να συνδυαστούν μπορεί να μην είναι άμεσα εμφανείς. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ακολουθήστε τη σειρά των λειτουργιών, εκτελώντας πράξεις με τους όρους στην έκφραση όπως απαιτείται, μέχρι να παραμείνουν μόνο προσθήκη και αφαίρεση.
   • Για παράδειγμα, εξετάστε την εξίσωση 5 (3x-1) + x (2x / 2) + 8-3x. Θα ήταν λανθασμένο να προσδιορίσουμε αμέσως 3x και 2x ως σχετικούς όρους και να τους συνδυάσουμε, παρά τις παρενθέσεις, καθώς πρέπει πρώτα να εκτελέσουμε άλλες λειτουργίες. Αρχικά, θα εκτελέσουμε αριθμητικές πράξεις στην έκφραση σύμφωνα με τη σειρά των λειτουργιών, προκειμένου να λάβουμε όρους που μπορούμε χρήση. Δες παρακάτω:
     • 5 (3x-1) + x (2x / 2) + 8-3x.
     • 15x-5 + x (x) + 8-3x.
     • 15x-5 + x.
       • Τώρα, καθώς παραμένουν μόνο οι λειτουργίες προσθήκης και αφαίρεσης, μπορούμε να συνδυάσουμε τους σχετικούς όρους.
     • x + 12x + 3.

Μέθοδος 2 από 3: Factoring

1. 

   Προσδιορίστε το μέγιστος κοινός διαιρέτης στην έκφραση. Το Factoring είναι ένας τρόπος απλοποίησης των εκφράσεων με την αφαίρεση κοινών παραγόντων όσον αφορά την έκφραση. Για να ξεκινήσετε, βρείτε το μέγιστο κοινό διαιρέτη που όλοι οι όροι στην έκφραση μοιράζονται - με άλλα λόγια, ο μεγαλύτερος αριθμός με τον οποίο όλοι οι όροι στην έκφραση είναι εξίσου διαιρετοί.
   • Ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση 9x + 27x-3. Σημειώστε ότι όλοι οι όροι στην εξίσωση διαιρούνται με το 3. Δεδομένου ότι οι όροι όχι διαιρούνται εξίσου από έναν άλλο μεγαλύτερο αριθμό, μπορούμε να το προσδιορίσουμε αυτό 3 είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης στην έκφραση.

2. 

   Διαιρέστε τους όρους της έκφρασης με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα. Στη συνέχεια, διαιρέστε κάθε όρο στην εξίσωση με τον μεγαλύτερο κοινό συντελεστή που βρέθηκε. Οι όροι που προκύπτουν θα έχουν χαμηλότερους συντελεστές από ό, τι στην αρχική έκφραση.
   • Θα συνυπολογίσουμε την εξίσωση από τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη του, 3. Για να γίνει αυτό, θα διαιρέσουμε κάθε όρο με 3.
     • 9x / 3 = 3x
     • 27x / 3 = 9χ
     • -3/3 = -1
       • Επομένως, η νέα μας έκφραση είναι 3x + 9x-1.

3. 

   Αντιπροσωπεύστε την έκφρασή σας ως προϊόν του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη και των υπόλοιπων όρων. Η νέα έκφραση δεν είναι η ίδια με την προηγούμενη, δηλαδή δεν μπορεί να ειπωθεί ότι είναι απλοποιημένη. Για να γίνει το ίδιο με το προηγούμενο, είναι απαραίτητο να παρατηρηθεί το γεγονός ότι διαιρέθηκε από τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη. Κλείστε την έκφρασή σας σε παρένθεση και ορίστε τον μέγιστο κοινό διαχωριστή της αρχικής εξίσωσης ως συντελεστή για την έκφραση σε παρενθέσεις.
   • Στην περίπτωση της παραδειγμένης έκφρασής μας, 3x + 9x-1, θα κλείσουμε την έκφραση σε παρένθεση και θα την πολλαπλασιάσουμε με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη της αρχικής εξίσωσης για λήψη 3 (3x + 9x-1). Αυτή η εξίσωση είναι ίδια με την αρχική, 9x + 27x-3.

4. 

   Χρησιμοποιήστε το factoring για να απλοποιήσετε τα κλάσματα. Ίσως τώρα αναρωτιέστε γιατί το factoring είναι χρήσιμο εάν, αφού αφαιρέσετε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη, η νέα έκφραση πρέπει να πολλαπλασιαστεί ξανά με αυτήν. Στην πραγματικότητα, το factoring επιτρέπει σε έναν μαθηματικό να εκτελέσει διάφορα κόλπα απλοποιώντας μια έκφραση. Ένα από τα απλούστερα περιλαμβάνει την αξιοποίηση του γεγονότος ότι ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό θα έχει ως αποτέλεσμα ένα ισοδύναμο κλάσμα. Δες παρακάτω:
   • Ας πούμε ότι η αρχική μας παράσταση παραδείγματος, 9x + 27x-3, είναι ο αριθμητής ενός μεγαλύτερου κλάσματος με 3 στον παρονομαστή του. Αυτό το κλάσμα θα μοιάζει με αυτό: (9x + 27x-3) / 3. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παραγοντοποίηση για να απλοποιήσουμε αυτό το κλάσμα:
     • Αντικαθιστούμε την παραγοντοποιημένη μορφή της αρχικής μας έκφρασης με την έκφραση στον αριθμητή: / 3.
   • Σημειώστε ότι τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής μοιράζονται τώρα τον συντελεστή 3. Όταν διαιρούμε και τους δύο με 3, θα έχουμε: (3x + 9x-1) / 1.
   • Δεδομένου ότι κάθε κλάσμα που έχει «1» στον παρονομαστή του είναι ίσο με τους όρους στον αριθμητή, μπορούμε να πούμε ότι το αρχικό κλάσμα μπορεί να απλοποιηθεί σε 3x + 9x-1.

Μέθοδος 3 από 3: Εφαρμογή πρόσθετων δεξιοτήτων απλούστευσης

1. 

   Απλοποιήστε τα κλάσματα διαιρώντας κοινούς παράγοντες. Όπως σημειώθηκε παραπάνω, εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής μιας έκφρασης μοιράζονται παράγοντες, αυτοί οι παράγοντες μπορούν να αφαιρεθούν εντελώς από το κλάσμα. Μερικές φορές αυτό απαιτεί την παραγοντοποίηση του αριθμητή, του παρονομαστή ή και των δύο (όπως ήταν η περίπτωση που περιγράφηκε παραπάνω), ενώ άλλες φορές οι κοινόχρηστοι παράγοντες θα είναι αμέσως εμφανείς. Σημειώστε ότι είναι επίσης δυνατό να διαιρέσετε τους όρους του αριθμητή με την έκφραση στον παρονομαστή, μεμονωμένα, προκειμένου να αποκτήσετε μια απλοποιημένη έκφραση.
   • Ας κάνουμε ένα παράδειγμα που δεν απαιτεί απαραιτήτως άμεσο factoring. Στην περίπτωση του κλάσματος (5x + 10x + 20) / 10, μπορούμε ίσως να διαιρέσουμε κάθε όρο στον αριθμητή με τον αριθμό 10 στον παρονομαστή προκειμένου να τον απλοποιήσουμε, αν και ο συντελεστής "5" σε 5x δεν είναι μεγαλύτερος από 10 και, επομένως, για αυτόν τον λόγο, δεν μπορεί να έχει 10 ως διαιρέτης.
     • Κάτι τέτοιο μας φέρνει στο αποτέλεσμα + x + 2. Εάν προτιμούμε, μπορούμε να ξαναγράψουμε τον πρώτο όρο με (1/2) x για να λάβουμε το αποτέλεσμα (1/2) x + x + 2.

2. 

   Χρησιμοποιήστε τετραγωνικούς παράγοντες για να απλοποιήσετε τις ρίζες. Οι εκφράσεις κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας ονομάζονται ριζικές εκφράσεις. Μπορούν να απλοποιηθούν εντοπίζοντας τετραγωνικούς παράγοντες (παράγοντες που είναι τετράγωνα ενός δεδομένου αριθμού) και εκτελώντας τη λειτουργία της τετραγωνικής ρίζας σε αυτούς ξεχωριστά, προκειμένου να τους αφαιρέσετε από κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας.
   • Ας κάνουμε το ακόλουθο παράδειγμα: √ (9). Εάν σκεφτούμε τον αριθμό 90 ως προϊόν δύο από τους παράγοντες του, 9 και 10, μπορούμε να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του 9 για να αποκτήσουμε τον ακέραιο 3 και να τον αφαιρέσουμε από τη ρίζα. Με άλλα λόγια:
     • √(90).
     • √(9×10).
     • .
     • 3×√(10).
     • 3√10.

3. 

   Προσθέστε εκθέτες πολλαπλασιάζοντας δύο εκθετικούς όρους. αφαιρέστε τους διαιρώντας αυτούς τους όρους. Ορισμένες αλγεβρικές εκφράσεις απαιτούν τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση των εκθετικών όρων. Αντί να υπολογίζουμε κάθε εκθετικό όρο και να πολλαπλασιάζουμε ή να διαιρούμε χειροκίνητα, απλά μερικοί εκθέτες πολλαπλασιάζοντας και αφαιρέστε τα κατά τη διαίρεση, για εξοικονόμηση χρόνου. Αυτή η ιδέα μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την απλοποίηση των μεταβλητών εκφράσεων.
   • Για παράδειγμα, λάβετε υπόψη την έκφραση 6x × 8x + (x / x). Σε κάθε περίπτωση που είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί ή να διαιρεθεί με εκθέτες, θα αφαιρέσουμε ή θα προσθέσουμε, αντίστοιχα, προκειμένου να βρούμε γρήγορα έναν απλοποιημένο όρο. Δες παρακάτω:
     • 6x × 8x + (x / x)
     • (6 × 8) x + (x)
     • 48x + x
   • Ο λόγος για τον οποίο λειτουργεί είναι ο εξής:
     • Ο πολλαπλασιασμός των εκθετικών όρων είναι, στην ουσία, όπως ο πολλαπλασιασμός μεγάλων αλυσίδων μη εκθετικών όρων. Για παράδειγμα, δεδομένου ότι x = x × x × x και x = x × x × x × x × x, x × x = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ή x
   • Παρομοίως, ο διαχωρισμός των εκθετικών όρων είναι σαν να χωρίζει μεγάλες αλυσίδες μη εκθετικών όρων. x / x = (x Χ x Χ Χ Χ Χ Χ Χ) / (Χ Χ Χ Χ Χ Χ). Δεδομένου ότι κάθε όρος στον αριθμητή μπορεί να ακυρωθεί με έναν συνδυασμό όρων στον παρονομαστή, έχουμε δύο x στον αριθμητή και κανένας στον παρονομαστή, λαμβάνοντας την απάντηση x.

Συμβουλές

• Να θυμάστε πάντα ότι πρέπει να θεωρείτε αυτούς τους αριθμούς ως θετικά ή αρνητικά σημάδια. Πολλοί άνθρωποι δυσκολεύονται να σκεφτούν «Τι σημάδι πρέπει να βάλω εδώ;”
• Ζητήστε βοήθεια όταν χρειάζεται!
• Η απλοποίηση των αλγεβρικών εκφράσεων δεν είναι εύκολη, αλλά όταν το ξέρεις, θα χρησιμοποιήσεις αυτήν την ικανότητα καθ 'όλη τη διάρκεια της ζωής σου.

Προειδοποιήσεις

• Πάντα ψάχνετε για παρόμοιους όρους και μην ξεγελιέστε από εκθέτες.
• Μην προσθέτετε κατά λάθος κανένα αριθμό, εκθέτη ή λειτουργία που δεν ανήκει στην έκφραση.