Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλές

Για όσους έχουν δυσκολίες με τα μαθηματικά, το να βλέπεις το σύμβολο μιας τετραγωνικής ρίζας μπορεί να προκαλέσει ρίγη. Ωστόσο, τα προβλήματα που αφορούν αυτόν τον χειριστή δεν είναι τόσο δύσκολα όσο εμφανίζονται. Μερικές φορές, τα απλά τετραγωνικά προβλήματα μπορούν να είναι τόσο εύκολα όσο ένας απλός πολλαπλασιασμός ή διαίρεση. Από την άλλη πλευρά, πιο περίπλοκα προβλήματα μπορεί να είναι περισσότερη δουλειά. Ωστόσο, με τη σωστή προσέγγιση, όλα θα φαίνονται εύκολα. Ξεκινήστε να ασκείτε προβλήματα τετραγωνικής ρίζας τώρα και μάθετε αυτήν τη νέα μαθηματική ικανότητα ριζικό!

Βήματα

Μέρος 1 από 3: Κατανοήστε την έννοια των τετραγωνικών και τετραγωνικών ριζών

1. 

   Πριν κατανοήσετε τις τετραγωνικές ρίζες, πρώτα καταλάβετε τι είναι το τετράγωνο ενός αριθμού. Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό. Για να τετραγωνίσετε έναν αριθμό, απλώς πολλαπλασιάστε τον από μόνο του. Για παράδειγμα, το 3 τετράγωνο είναι το ίδιο με το 3 × 3 = 9 και το 9 τετράγωνο είναι το ίδιο με το 9 × 9 = 81. Τα τετράγωνα υποδηλώνονται με ένα μικρό "2" στην επάνω δεξιά πλευρά του αριθμού προς ανύψωση, σαν αυτό: 3, 9, 100 και ούτω καθεξής.
   • Για να εξασκήσετε την ιδέα, προσπαθήστε να τετραγωνίσετε μερικούς ακόμη αριθμούς. Θυμηθείτε, το τετράγωνο ενός αριθμού πολλαπλασιάζεται απλώς από μόνο του. Μπορείτε να το κάνετε ακόμα και με αρνητικούς αριθμούς, αλλά να θυμάστε ότι σε αυτήν την περίπτωση η απάντηση θα είναι πάντα θετική. Για παράδειγμα, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Για να βρείτε την τετραγωνική ρίζα, βρείτε το "αντίστροφο" της ενίσχυσης. Το ριζικό σύμβολο (√, που ονομάζεται επίσης "ριζικό") ουσιαστικά σημαίνει το "αντίθετο" του συμβόλου. Όταν βλέπετε μια ρίζα, ρωτήστε τον εαυτό σας, "Ποιος αριθμός μπορώ να πολλαπλασιάσω από μόνος του, ώστε το αποτέλεσμα να είναι ο αριθμός μέσα στη ρίζα;" Για παράδειγμα, όταν βλέπετε √ (9), προσπαθήστε να βρείτε τον αριθμό που, τετράγωνο, ισούται με εννέα. Σε αυτήν την περίπτωση, η απάντηση θα είναι τρίαγιατί 3 = 9.
   • Ένα άλλο παράδειγμα: ας βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 25 (√ (25)). Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε τον αριθμό που, τετράγωνο, είναι ίσος με 25. Δεδομένου ότι 5 = 5 × 5 = 25, μπορούμε να πούμε ότι √ (25) = 5.
   • Μπορείτε επίσης να σκεφτείτε αυτήν τη λειτουργία ως έναν τρόπο "αναίρεσης" ενός τετραγωνικού υψομέτρου. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρούμε √ (64), την τετραγωνική ρίζα του 64, πρέπει να σκεφτούμε το 64 ως 8. Δεδομένου ότι η τετραγωνική ρίζα βασικά "ακυρώνει" ένα τετράγωνο ανύψωσης, μπορούμε να πούμε ότι √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Κατανοήστε τη διαφορά μεταξύ τέλειων τετραγώνων αριθμών και ατελών τετραγώνων αριθμών. Μέχρι στιγμής, οι απαντήσεις στα προβλήματα της τετραγωνικής ρίζας μας ήταν ακέραιοι αριθμοί. Δεν θα συμβεί πάντα. Στην πραγματικότητα, το αποτέλεσμα μιας λειτουργίας ακτινοβολίας μπορεί μερικές φορές να οδηγήσει σε μακρά, περίπλοκα δεκαδικά ψηφία. Εάν η ρίζα ενός αριθμού είναι ακέραιος, δηλαδή εάν δεν είναι κλάσμα ή δεκαδικό, θα ονομάζεται Τέλειο τετράγωνο. Όλα τα παραπάνω παραδείγματα (9, 25 και 64) είναι τέλεια τετράγωνα επειδή οι ρίζες τους είναι ακέραιοι (3, 5 και 8, αντίστοιχα).
   • Από την άλλη πλευρά, ονομάζονται αριθμοί των οποίων οι ρίζες δεν είναι ολόκληρες ατελή τετράγωνα. Κατά τον υπολογισμό της ρίζας ενός από αυτούς τους αριθμούς, θα λάβουμε ένα αποτέλεσμα που συνήθως θα είναι ένα κλάσμα ή ένα δεκαδικό. Μερικές φορές, τα δεκαδικά ψηφία μπορεί να είναι αρκετά περίπλοκα, όπως στο παράδειγμα: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Απομνημονεύστε τουλάχιστον τα πρώτα 12 τέλεια τετράγωνα. Όπως έχουμε δείξει, ο υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού μπορεί να είναι πολύ εύκολος! Επομένως, είναι σημαντικό να αφιερώσετε χρόνο για να απομνημονεύσετε τις τετραγωνικές ρίζες των πρώτων δεκάδων τέλειων τετραγώνων. Τείνουν να εμφανίζονται πολύ στις δοκιμές, οπότε η απομνημόνευσή τους μπορεί να σας εξοικονομήσει πολύ χρόνο. Τα πρώτα 12 τέλεια τετράγωνα είναι:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Όταν είναι δυνατόν, απλοποιήστε τις ρίζες αφαιρώντας τα τέλεια τετράγωνα. Η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας των ατελών τετραγώνων μπορεί να είναι αρκετά δύσκολη, ειδικά αν δεν υπάρχει διαθέσιμη αριθμομηχανή (στις παρακάτω ενότητες, θα μάθετε κόλπα για να απλοποιήσετε τη διαδικασία). Ωστόσο, μερικές φορές είναι δυνατό να απλοποιήσετε τους αριθμούς μέσα στη ρίζα για να κάνετε τους υπολογισμούς ευκολότερους. Απλώς διαιρέστε τον αριθμό μέσα στη ρίζα σε παράγοντες και, στη συνέχεια, υπολογίστε τη ρίζα των παραγόντων που είναι τέλεια τετράγωνα και γράψτε την απάντηση έξω από τη ρίζα. Αυτό είναι πιο εύκολο από ό, τι φαίνεται. Δείτε παρακάτω για να καταλάβετε καλύτερα!
   • Ας πούμε ότι πρέπει να βρείτε τη ρίζα του 900. Αρχικά, φαίνεται να είναι πολύ δύσκολο έργο! Όλα είναι πολύ πιο εύκολα αν διαιρέσουμε το 900 σε παράγοντες. Οι παράγοντες ενός αριθμού "x" είναι ένα σύνολο αριθμών που, εάν πολλαπλασιαστούν, οδηγούν σε "x". Για παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε 6 πολλαπλασιάζοντας τα 1 × 6 και 2 × 3, έτσι οι συντελεστές του 6 είναι 1, 2, 3 και 6.
   • Αντί να δουλεύουμε με το 900, το οποίο μπορεί να είναι λίγο περίεργο, ας το γράψουμε ως 9 × 100. Τώρα, καθώς το 9, το οποίο είναι ένα τέλειο τετράγωνο, διαχωρίζεται από το 100, μπορούμε να υπολογίσουμε την τετραγωνική του ρίζα. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Δηλαδή, √ (900) = 3√(100).
   • Μπορούμε ακόμα να απλοποιήσουμε δύο ακόμη φορές, διαιρώντας το 100 σε παράγοντες 25 και 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Χρησιμοποιήστε φανταστικούς αριθμούς για να υπολογίσετε τη ρίζα των αρνητικών αριθμών. Αναρωτηθείτε, ποιος αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του οδηγεί σε -16; Δεν είναι 4 ή -4, επειδή το τετράγωνο αυτών των δύο αριθμών είναι 16. Πρέπει να παραιτηθούμε; Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τρόπος να γράψετε την τετραγωνική ρίζα του -16 ή άλλου αρνητικού αριθμού χρησιμοποιώντας μόνο πραγματικούς αριθμούς. Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε φανταστικούς αριθμούς (συνήθως με τη μορφή γραμμάτων ή συμβόλων) για να αντικαταστήσουμε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού. Η μεταβλητή "i", για παράδειγμα, χρησιμοποιείται για να δηλώσει την τετραγωνική ρίζα του -1. Κατά γενικό κανόνα, η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού θα είναι πάντα (ή τουλάχιστον θα περιλαμβάνει) έναν φανταστικό αριθμό.
   • Θυμηθείτε, παρόλο που οι φανταστικοί αριθμοί δεν μπορούν να αναπαρασταθούν από πραγματικούς αριθμούς, εξακολουθούν να αντιμετωπίζονται ως τέτοιοι με ορισμένους τρόπους. Για παράδειγμα, η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού "-x", εάν τετράγωνο, οδηγεί επίσης σε "-x", όπως και κάθε άλλη ρίζα. Δηλαδή, i = -1

Μέρος 2 από 3: Χρήση μεθόδων τύπου Long Division

1. 

   Αντιμετωπίστε το πρόβλημα της τετραγωνικής ρίζας σαν να ήταν μια μακρά διαίρεση. Παρά το γεγονός ότι είναι λίγο επίπονο, μπορείτε να βρείτε την τετραγωνική ρίζα των πολύπλοκων ατελών τετραγώνων αριθμών χωρίς να χρησιμοποιήσετε αριθμομηχανή. Η μέθοδος (ή αλγόριθμος) είναι παρόμοια (αλλά όχι η ίδια) με αυτή της μακράς διαίρεσης. Η μακρά διαίρεση είναι ότι η παραδοσιακή μέθοδος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των διαιρέσεων με το χέρι.
   • Ξεκινήστε με την αρχική τοποθέτηση του προβλήματος, το οποίο θα είναι παρόμοιο με αυτό της μεγάλης διαίρεσης. Για παράδειγμα, ας πούμε ότι πρέπει να βρείτε τη ρίζα του 6.45, που σίγουρα δεν είναι ένα τέλειο τετράγωνο. Πρώτα, γράφουμε ένα σύμβολο τετραγωνικής ρίζας (√) και μετά βάζουμε τον αριθμό μας μέσα σε αυτό. Στη συνέχεια, πρέπει να φτιάξουμε μια γραμμή από το σύμβολο √ μέχρι να καλύψει ολόκληρο τον αριθμό, αφήνοντάς το μέσα σε ένα κουτί παρόμοιο με αυτό που είναι το διαχωριστικό μεγάλου διαχωρισμού. Η διαφορά είναι ότι εδώ, η απάντηση θα είναι πάνω από αυτό το πλαίσιο, όχι παρακάτω, όπως στην παραδοσιακή διαίρεση. Όταν τελειώσουμε, θα έχουμε μια επιμήκη πινακίδα "√", που θα καλύπτει ολόκληρο τον αριθμό των 6,45.
   • Ας γράψουμε αριθμούς σε αυτό το πλαίσιο, άρα αφήστε χώρο.

2. 

   Ομαδοποιήστε τα ψηφία σε ζεύγη. Για να ξεκινήσετε την επίλυση του προβλήματος, ομαδοποιήστε τα ψηφία του αριθμού μέσα στο στέλεχος σε ζεύγη, ξεκινώντας από το δεκαδικό σημείο. Μπορείτε να κάνετε μικρές σημάνσεις (όπως τελείες, μπάρες, κόμματα κ.λπ.) μεταξύ ζευγών για να τα διαχωρίσετε.
   • Στο παράδειγμά μας, πρέπει να χωρίσουμε το 6,45 σε τρία ζεύγη, όπως αυτό: 6-,45-00. Δείτε ότι υπάρχει ένα μικρότερο ψηφίο στην αριστερή πλευρά, δεν υπάρχει πρόβλημα με αυτό.

3. 

   Βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό του οποίου το τετράγωνο είναι μικρότερο ή ίσο με την τιμή της πρώτης "ομάδας". Ξεκινήστε με το πρώτο ζεύγος αριθμών στην αριστερή πλευρά. Επιλέξτε τον μεγαλύτερο αριθμό του οποίου το τετράγωνο είναι μικρότερο ή ίσο με την "ομάδα". Για παράδειγμα, εάν η ομάδα ήταν 37, επιλέξτε 6, επειδή 6 = 36 <37 αλλά 7 = 49> 37. Γράψτε αυτόν τον αριθμό πάνω από την πρώτη ομάδα. Αυτό είναι το πρώτο ψηφίο της απάντησης.
   • Στο παράδειγμά μας, η πρώτη ομάδα στο 6-, 45-00 είναι 6. Ο πρώτος μεγαλύτερος αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι μικρότερο ή ίσο με 6 είναι 2, επειδή 2 = 4. Γράψτε "2" πάνω από το 6 που βρίσκεται μέσα στη ρίζα.

4. 

   Κοιτάξτε το πρώτο ψηφίο της απάντησης (τον αριθμό που μόλις βρήκαμε) και πολλαπλασιάστε το με δύο. Τώρα, γράψτε το αποτέλεσμα κάτω από την πρώτη ομάδα και εκτελέστε μια αφαίρεση για να βρείτε τη διαφορά. Στη συνέχεια, μετακινηθείτε προς τα κάτω στο επόμενο ζεύγος αριθμών, προσθέτοντάς τους στη διαφορά που μόλις βρήκαμε. Τέλος, γράψτε το τελευταίο ψηφίο διπλασιάζοντας το πρώτο ψηφίο της απάντησης στην αριστερή πλευρά και αφήστε ένα κενό δίπλα του.
   • Στο παράδειγμά μας, το πρώτο βήμα θα ήταν να βρούμε το διπλό από το 2, που είναι το πρώτο ψηφίο της απάντησης. 2 × 2 = 4. Στη συνέχεια, πρέπει να αφαιρέσουμε το 4 από το 6 (το πρώτο μας "γκρουπ"), λαμβάνοντας το 2 ως απάντηση. Τώρα, πρέπει να πάμε στην επόμενη ομάδα (45) για να πάρουμε 245. Τέλος, γράφουμε ξανά 4 στα αριστερά, αφήνοντας ένα μικρό κενό διάστημα στη δεξιά πλευρά, όπως αυτό: 4_.

5. 

   Συμπληρώστε το κενό. Τώρα, πρέπει να τοποθετήσουμε ένα ψηφίο στη θέση του κενού χώρου δίπλα στον αριθμό που γράφουμε στα αριστερά. Επιλέξτε το ψηφίο που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό στα αριστερά με τον κενό χώρο να αντικατασταθεί από τον εαυτό του, έχει μέγιστη τιμή, αλλά μικρότερο από τον αριθμό στη δεξιά πλευρά. Αυτό μπορεί να φαίνεται λίγο περίπλοκο, οπότε ας δούμε μερικά παραδείγματα για να κατανοήσουμε. Εάν ο αριθμός που κατέβηκε, δηλαδή αυτός που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά, είναι 1700 και ο αριθμός στα δεξιά είναι 40_, θα συμπληρώσαμε το κενό με τον αριθμό 4, επειδή 404 × 4 = 1616 <1700 και 405 × 5 = 2025 Ο αριθμός που βρίσκεται σε αυτό το βήμα θα είναι το δεύτερο ψηφίο της απάντησης, ώστε να μπορείτε να το προσθέσετε πάνω από το σύμβολο του στελέχους.
   • Στο παράδειγμά μας, πρέπει να βρούμε τον αριθμό για να συμπληρώσουμε τον κενό χώρο σε 4_ × _ που κάνει την απάντηση όσο το δυνατόν μεγαλύτερη, αλλά μικρότερη ή ίση με 245. Στην περίπτωσή μας, η απάντηση είναι 5επειδή 45 × 5 = 225 και 46 × 6 = 276.

6. 

   Συνεχίστε να χρησιμοποιείτε τους αριθμούς που συμπληρώνουν τα κενά για να συνθέσετε την απάντηση. Συνεχίστε αυτήν την τροποποιημένη μέθοδο μακράς διαίρεσης μέχρι να αρχίσετε να λαμβάνετε μηδενικά αφαιρώντας τον αριθμό που κατεβαίνει από τη ρίζα ή έως ότου φτάσετε στο επιθυμητό επίπεδο ακρίβειας. Όταν τελειώσετε, οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για να συμπληρώσετε τα κενά σε κάθε βήμα (και, φυσικά, ο πρώτος αριθμός που χρησιμοποιούμε) θα αποτελέσουν τα ψηφία απάντησης.
   • Συνεχίζοντας το παράδειγμά μας, θα αφαιρούσαμε το 225 από το 245 για να πάρουμε το 20. Στη συνέχεια, θα κατεβάσουμε το ζεύγος των ψηφίων 00 για να πάρουμε το 2000. Διπλασιάζοντας τους αριθμούς πάνω από τη ρίζα, έχουμε 25 × 2 = 50. Ορίζοντας τον κενό αριθμό σε 50_ × _ = / <2.000, παίρνουμε 3. Σε αυτό το σημείο, έχουμε το "253" για τον ριζοσπαστικό. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία ξανά, έχουμε το 9 ως το επόμενο ψηφίο.

7. 

   Τοποθετήστε το κόμμα στη σωστή θέση στην απάντηση. Για να ολοκληρώσουμε την απάντηση, πρέπει να βάλουμε το δεκαδικό σημείο στη σωστή θέση. Αυτό το μέρος είναι εύκολο: απλώς βάλτε το κόμμα στην απάντηση στην ίδια θέση με το κόμμα στον αριθμό μέσα στη ρίζα. Για παράδειγμα, εάν ο αριθμός εντός της ρίζας είναι 49,8, απλώς βάλτε το κόμμα στην απάντηση στη θέση που αντιστοιχεί στην παρακάτω, δηλαδή μεταξύ των δύο αριθμών πάνω από 9 και 8.
   • Στο παράδειγμά μας, ο αριθμός εντός της ρίζας είναι 6,45. Για να λάβετε την απάντηση, απλώς τοποθετήστε το κόμμα μεταξύ των αριθμών που είναι πάνω από 6 και 4, τα οποία σε αυτήν την περίπτωση είναι 2 και 5, αντίστοιχα, για να λάβετε την απάντηση: 2,539.

Μέρος 3 από 3: Γρήγορη εκτίμηση των ατελών τετραγώνων

1. 

   Βρείτε την απάντηση μέσω εκτίμησης. Μόλις μάθετε τη ρίζα ορισμένων τέλειων τετραγώνων, η εύρεση της ρίζας των ατελών τετραγώνων θα είναι πολύ πιο εύκολη. Σε ένα προηγούμενο βήμα, συνιστούμε να απομνημονεύσετε τουλάχιστον τα πρώτα δώδεκα τέλεια τετράγωνα και τις ρίζες τους. Τα καλά νέα είναι ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εκτίμηση για να πάρουμε μια προσέγγιση της ρίζας ενός ατελούς τετραγώνου που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο τέλεια τετράγωνα που γνωρίζουμε. Για αυτό, πρέπει να βρούμε το πρώτο τέλειο τετράγωνο μεγαλύτερο από τον επιθυμητό αριθμό και το τελευταίο μικρότερο, έτσι ώστε ο εν λόγω αριθμός να είναι μεταξύ των δύο. Στη συνέχεια, πρέπει να προσπαθήσουμε να μάθουμε σε ποια από αυτά τα δύο τέλεια τετράγωνα πλησιάζει η ρίζα του επιθυμητού αριθμού.
   • Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε την τετραγωνική ρίζα των 40. Δεδομένου ότι απομνημονεύουμε τα τέλεια τετράγωνα, μπορούμε να πούμε ότι το 40 είναι μεταξύ 6 και 7, δηλαδή μεταξύ 36 και 49. Δεδομένου ότι το 40 είναι μεγαλύτερο από 6, η τετραγωνική ρίζα σας θα είναι μεγαλύτερη από 6. Ομοίως, δεδομένου ότι είναι μικρότερη από 7, η ρίζα της θα είναι μικρότερη από 7. 40 είναι λίγο πιο κοντά στο 36 από 49, οπότε η απάντησή μας πιθανότατα θα είναι πιο κοντά στο 6. Στα επόμενα βήματα , θα αυξήσουμε την ακρίβεια της εκτίμησής μας.

2. 

   Αυξήστε την ακρίβεια σε ένα δεκαδικό ψηφίο. Μόλις βρείτε τα δύο διαδοχικά τέλεια τετράγωνα που σχηματίζουν ένα εύρος που περιέχει τον αριθμό σας, απλώς προσπαθήστε να αυξήσετε την ακρίβεια της εκτίμησης σε ένα σημείο που πιστεύετε ότι είναι ικανοποιητικό. Όσο περισσότερες προσπάθειες βελτίωσης της εκτίμησης γίνονται, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια. Για να ξεκινήσετε, υπολογίστε την τιμή του πρώτου δεκαδικού ψηφίου. Αυτή η εκτίμηση δεν πρέπει να είναι σωστή, αλλά η χρήση λογικής για να επιλέξετε μια τιμή που είναι πιθανότατα πιο κοντά στην απάντηση θα διευκολύνει τη διαδικασία.
   • Στο παράδειγμά μας, θα μπορούσε να είναι μια αποδεκτή εκτίμηση για την τετραγωνική ρίζα των 40 6,4, επειδή γνωρίζουμε ήδη ότι η απάντηση είναι πιθανώς λίγο πιο κοντά στο 6 από το 7.

3. 

   Πολλαπλασιάστε την εκτίμηση από μόνη της. Εκτός αν είστε πολύ τυχεροί, το αποτέλεσμα δεν θα είναι ο αρχικός αριθμός (40, στο παράδειγμά μας). Θα χρειαστεί να προσαρμόσετε την εκτίμηση για να πλησιάσετε τη σωστή απάντηση.Εάν το αποτέλεσμα είναι πάνω από τον αρχικό αριθμό (δηλαδή πάνω από 40), δοκιμάστε μια χαμηλότερη εκτίμηση. Ομοίως, εάν το αποτέλεσμα είναι κάτω από τον επιθυμητό αριθμό, αυξήστε την εκτίμηση.
   • Πολλαπλασιάστε το 6,4 από μόνο του για να λάβετε 6,4 × 6,4 = 40,96, το οποίο είναι ελαφρώς υψηλότερο από τον αρχικό μας αριθμό.
   • Τώρα, καθώς η εκτίμησή μας ήταν ακριβώς πάνω από τη σωστή τιμή, οπότε ας την μειώσουμε κατά το ένα δέκατο για να λάβουμε 6,3 × 6,3 = 39,69. Τώρα το αποτέλεσμα ήταν ελαφρώς μικρότερο από τον αρχικό μας αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα του 40 είναι κάποιος αριθμός μεταξύ 6.3 και 6.4. Επιπλέον, καθώς το 39,69 είναι πιο κοντά στο 40 από το 40,96, γνωρίζουμε ότι η ρίζα θα είναι πιο κοντά στο 6,3, όχι στο 6,4.

4. 

   Συνεχίστε να βελτιώνετε την εκτίμηση εάν είναι απαραίτητο. Σε αυτό το σημείο, εάν είστε ικανοποιημένοι με την απάντηση, χρησιμοποιήστε μία από τις πρώτες προσεγγίσεις ως εκτίμηση. Ωστόσο, εάν χρειάζεστε μια πιο ακριβή απάντηση, απλώς προσπαθήστε να εκτιμήσετε το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, επιλέγοντας μια τιμή μεταξύ των δύο προηγούμενων (δηλαδή, μεταξύ 6,3 και 6,4). Χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο, μπορούμε να εκτιμήσουμε τρία δεκαδικά ψηφία, τέσσερα, πέντε και ούτω καθεξής, ανάλογα μόνο με την ακρίβεια που απαιτείται για την απάντηση.
   • Στο παράδειγμά μας, μπορούμε να επιλέξουμε 6,33 για να κάνουμε την εκτίμησή μας σε δύο δεκαδικά ψηφία. Πολλαπλασιάστε το 6,33 από μόνο του για να αποκτήσετε 6,33 × 6,33 = 40,0689. Καθώς αυτό το αποτέλεσμα ήταν λίγο πάνω από τον αρχικό μας αριθμό, μπορούμε να επιλέξουμε μια ελαφρώς χαμηλότερη τιμή, όπως το 6.32. Σε αυτήν την περίπτωση, 6,32 × 6,32 = 39,9424, αποτέλεσμα ελαφρώς χαμηλότερο από τον αρχικό αριθμό. Επομένως, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ακριβής ρίζα του 40 είναι μεταξύ 6,32 και 6,33. Εάν είναι απαραίτητο, θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε αυτήν τη μέθοδο για να λάβουμε όλο και πιο ακριβείς προσεγγίσεις στη ρίζα του επιθυμητού αριθμού.

Συμβουλές

• Εάν χρειάζεστε μια γρήγορη επιδιόρθωση, χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή. Οι περισσότεροι σύγχρονοι υπολογιστές μπορούν να υπολογίσουν τις τετραγωνικές ρίζες αμέσως. Γενικά, απλώς πληκτρολογήστε οποιονδήποτε αριθμό και πατήστε το κουμπί με το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας. Για να βρείτε τη ρίζα του 841, για παράδειγμα, απλώς πατήστε 8, 4, 1 και στη συνέχεια (√) για να λάβετε την απάντηση: 39.