Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλές
• Προειδοποιήσεις

Εκθετική (ή ενίσχυση) είναι η λειτουργία που χρησιμοποιείται για την απλοποίηση του πολλαπλασιασμού ενός αριθμού από μόνη της. Για παράδειγμα, αντί να γράφουμε, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο. Αυτό θα εξηγηθεί παρακάτω στην ενότητα "Βασικές λειτουργίες με εξουσίες". Η εκτόνωση σάς επιτρέπει να γράφετε μεγάλες ή σύνθετες εκφράσεις ή εξισώσεις με απλούστερο τρόπο. Με την εκμάθηση των παρακάτω κανόνων, μπορείτε εύκολα να προσθέσετε και να αφαιρέσετε δυνάμεις για να απλοποιήσετε την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων (για παράδειγμα :). Προσοχή: για να μάθετε πώς να επιλύετε εκθετικές εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις στις οποίες η άγνωστη τιμή εμφανίζεται στον εκθέτη (για παράδειγμα,), κάντε κλικ εδώ.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Βασικές λειτουργίες ισχύος

1. 

   Μάθετε το σωστό λεξιλόγιο για εκθετικά προβλήματα. Κάθε δύναμη, για παράδειγμα, έχει δύο μέρη. Ο κάτω αριθμός (2 σε αυτό το παράδειγμα) καλείται βάση. Ο αριθμός υπεργράφου στα δεξιά (3 σε αυτό το παράδειγμα) καλείται εκθέτης ή εξουσία. Μπορούμε να διαβάσουμε τη δύναμη ως δύο έως τρία ή δύο ανέβηκαν στην τρίτη δύναμη.
   • Εάν ένας αριθμός αυξάνεται στη δεύτερη δύναμη, όπως, λέμε ότι αυξάνεται εις το τετραγωνο (στο παράδειγμα, διαβάζουμε πέντε τετράγωνο).
   • Εάν ένας αριθμός αυξάνεται στην τρίτη δύναμη, όπως, λέμε ότι αυξάνεται κόκκος αρωματικός (στο παράδειγμα, διαβάζουμε δέκα κύβους).
   • Εάν ένας αριθμός δεν έχει εκθετικό, όπως ένα απλό 4, λέμε ότι ανυψώνεται στο πρώτη δύναμη και μπορούμε να το ξαναγράψουμε ως.
   • Εάν ο εκθέτης είναι 0 και ένας μη μηδενικός αριθμός ανυψώνεται σε μηδενικός εκθέτης, λέμε ότι η ισχύς είναι ίση με 1, για παράδειγμα ή Για να μάθετε περισσότερα, επισκεφθείτε την ενότητα "Συμβουλές".

2. 

   
   
   Πολλαπλασιάστε τη βάση επανειλημμένα μόνη της όσες φορές υποδηλώνει ο εκθέτης. Εάν πρέπει να υπολογίσετε την τιμή μιας δύναμης με το χέρι, ξαναγράψτε την ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού. Η βάση πρέπει να πολλαπλασιάζεται αρκετές φορές ίσες με τον εκθέτη. Έτσι, για να υπολογίσετε την τιμή του, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη βάση τρεις μόνη της τέσσερις φορές στη σειρά, δηλαδή. Πάρτε μερικά ακόμη παραδείγματα:
   • Δέκα κύβους

3. 

   
   
   Λύστε την έκφραση. Πολλαπλασιάστε τους δύο πρώτους αριθμούς για να λάβετε το αποτέλεσμα του προϊόντος. Για παράδειγμα, για να υπολογίσετε, θα ξεκινήσετε με. Αυτή η έκφραση μπορεί να φαίνεται τρομακτική, αλλά το μόνο που πρέπει να κάνετε για να το λύσετε είναι να το κάνετε ένα βήμα τη φορά. Πρώτα, πολλαπλασιάστε τα πρώτα δύο τετράγωνα. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτά τα δύο τετράγωνα με το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, όπως φαίνεται στην παρακάτω ανάλυση:

4. 

   
   
   Πολλαπλασιάστε το προϊόν του πρώτου ζεύγους (σε αυτό το παράδειγμα, 16) με τον επόμενο αριθμό. Συνεχίστε πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς για να κάνετε τη δύναμη να "μεγαλώσει". Επιστρέφοντας στο παράδειγμά μας, το επόμενο βήμα θα ήταν να πολλαπλασιαστεί το 16 με τα επόμενα 4, όπως φαίνεται στην παρακάτω ανάλυση:
   • Όπως φαίνεται, πρέπει να συνεχίσετε να πολλαπλασιάζετε τη βάση με το προϊόν κάθε πρώτου ζεύγους αριθμών μέχρι να φτάσετε στο τελικό αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους δύο πρώτους αριθμούς στη σειρά και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε αυτό το προϊόν με τον επόμενο αριθμό. Αυτό ισχύει για οποιαδήποτε δύναμη. Όταν ολοκληρώσετε το παράδειγμά μας, θα λάβετε το αποτέλεσμα.

5. 

   Λύστε μερικά ακόμη παραδείγματα (χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή για να ελέγξετε τις απαντήσεις).

6. 

   Χρησιμοποιήστε το κουμπί "exp", "" ή "^" σε μια αριθμομηχανή για να προσδιορίσετε την τιμή ισχύος. Είναι σχεδόν αδύνατο να υπολογιστούν μεγαλύτερες δυνάμεις, όπως, χειροκίνητα. Ωστόσο, για μια αριθμομηχανή, αυτή είναι μια απλή εργασία. Το κουμπί συνήθως επισημαίνεται σαφώς. Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη λειτουργία στον υπολογιστή Παράθυρα 7, μεταβείτε σε λειτουργία επιστημονικής αριθμομηχανής: κάντε κλικ στο μενού "Προβολή" και μετά επιλέξτε "Επιστημονική". Για να επιστρέψετε στην τυπική λειτουργία αριθμομηχανής, κάντε ξανά κλικ στο "Προβολή" και επιλέξτε "Τυπική".
   • Επαληθεύστε την απάντηση χρησιμοποιώντας την έρευνα Google. Χρησιμοποιήστε το κουμπί "^" στο πληκτρολόγιο του υπολογιστή, δισκίο ή κινητό τηλέφωνο smartphone για να πληκτρολογήσετε την εκθετική έκφραση στη γραμμή αναζήτησης. Ο Google θα σας δείξει την απάντηση αμέσως και θα προτείνει παρόμοιες δυνάμεις για να τις εξερευνήσετε.

Μέθοδος 2 από 3: Προσθήκη, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός δυνάμεων

1. 

   Προσθέστε ή αφαιρέστε τις δυνάμεις της ίδιας βάσης και του ίδιου εκθέτη. Εάν οι βάσεις και οι εκθέτες των δυνάμεων είναι οι ίδιοι, μπορούμε να απλοποιήσουμε τους όρους της προσθήκης και να τον μετατρέψουμε σε έναν απλό πολλαπλασιασμό. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι είναι το ίδιο όπως, "1 από αυτό συν 1 από αυτό = 2 από αυτό" (ανεξάρτητα από το τι "αυτό" είναι). Προσθέστε τον αριθμό παρόμοιων όρων (ίση βάση και εκθετικός) και πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα αυτού του αθροίσματος με την εκθετική έκφραση. Στο παράδειγμά μας, απλά πρέπει να υπολογίσετε την τιμή ισχύος και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με δύο. Θυμηθείτε: ο πολλαπλασιασμός είναι απλώς ένας τρόπος για να ξαναγράψετε μια προσθήκη, όπως. Πάρτε μερικά ακόμη παραδείγματα:

2. 

   Όταν πολλαπλασιάζετε τις δυνάμεις της ίδιας βάσης, προσθέστε τους εκθέτες. Πολλαπλασιάζοντας δύο δυνάμεις της ίδιας βάσης, καθώς μπορούμε να την απλοποιήσουμε επαναλαμβάνοντας τη βάση και προσθέτοντας τους δύο εκθέτες. Καταλήγουμε λοιπόν σε αυτό. Εάν αυτός ο συλλογισμός είναι μπερδεμένος, απλώς αποσυνθέστε τους όρους πολλαπλασιασμού για να καταλάβετε πώς λειτουργεί:
   • Καθώς είναι απλά ο ίδιος αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του, μπορούμε να αναδιοργανώσουμε την έκφραση ως εξής:

3. 

   Όταν αυξάνετε μια δύναμη σε έναν άλλο εκθέτη, για παράδειγμα, πολλαπλασιάστε τους εκθέτες. Μια δύναμη που αυξάνεται σε έναν άλλο εκθέτη είναι ίση με τη βάση αυτής της δύναμης που αυξάνεται στο προϊόν των δύο εκθετών. Καταλήγουμε λοιπόν σε αυτό. Αν βρείτε τη συλλογιστική σύγχυση, αναλύστε ακριβώς τι σημαίνουν πραγματικά τα σύμβολα. Η έκφραση αντιπροσωπεύει ότι η δύναμη πολλαπλασιάζεται 5 φορές, όπως μπορούμε να δούμε παρακάτω:
   • Καθώς οι βάσεις είναι ίδιες, μπορούμε να προσθέσουμε τους εκθέτες τους:

4. 

   Μετατρέψτε μια ισχύ με αρνητικό εκθετικό σε κλάσμα (ή το αντίστροφο του αριθμού). Δεν χρειάζεται να γνωρίζετε ποιοι είναι οι αμοιβαίοι αριθμοί. Οποιοσδήποτε αριθμός αυξάνεται σε αρνητικό εκθέτη, όπως, είναι ίσος με το αντίστροφο αυτού του αριθμού που αυξάνεται στον ίδιο εκθέτη, αλλά με αντίθετο σύμβολο. Έτσι, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το παράδειγμά μας μπορεί να ξαναγραφεί ως το κλάσμα. Πάρτε μερικά ακόμη παραδείγματα:

5. 

   Κατά τη διαίρεση δύο δυνάμεων της ίδιας βάσης, αφαιρέστε τους εκθέτες. Η διαίρεση είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού, και παρόλο που αυτές οι δύο λειτουργίες δεν επιλύονται πάντα με τον αντίθετο τρόπο, σε αυτήν την περίπτωση θα είναι. Η διαίρεση δύο ίσων δυνάμεων βάσης, όπως, είναι ίση με την υψηλή βάση με τη διαφορά του άνω εκθέτη από τον κατώτερο εκθέτη. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι, ή απλά 16.
   • Θα δούμε παρακάτω ότι οποιαδήποτε δύναμη που είναι μέρος ενός κλάσματος, όπως, μπορεί να ξαναγραφεί ως. Οι αρνητικοί εκθέτες δημιουργούν κλάσματα.

6. 

   Λύστε μερικά ακόμη προβλήματα για την εξάσκηση λειτουργιών με εκθετικούς αριθμούς. Τα παρακάτω προβλήματα καλύπτουν όλες τις λειτουργίες που εμφανίζονται μέχρι στιγμής. Για να δείτε την απάντηση, απλώς επισημάνετε τη γραμμή προβλήματος με τον κέρσορα του Ποντίκι.
   • = 125
   • = 12
   • = -x ^ 12
   • = Θυμηθείτε: κάθε αριθμός που δεν έχει ισχύ έχει εκθετικό 1
   • =
   • =

Μέθοδος 3 από 3: Δυνάμεις με κλασματικό εκθέτη

1. 

   Μεταμορφώστε μια δύναμη με έναν κλασματικό εκθέτη, όπως, σε μια ρίζα. Η ισχύς είναι ακριβώς η ρίζα. Αυτό λειτουργεί το ίδιο για κάθε κλασματικό εκθέτη, ανεξάρτητα από το τι είναι ο παρονομαστής του κλάσματος. Έτσι, θα ήταν το ίδιο με την τέταρτη ρίζα του x, δηλαδή.
   • Η ακτινοβολία είναι η αντίστροφη λειτουργία της εκτόνωσης. Για παράδειγμα, αν ανεβάσετε τη ρίζα στην τέταρτη δύναμη, το αποτέλεσμα θα ήταν απλώς. Έτσι, θα είναι το ίδιο με. Ένα άλλο παράδειγμα: εάν, τότε. Επομένως, .

2. 

   Μεταμορφώστε τον αριθμητή στον εκθέτη της ρίζας. Η δύναμη μπορεί να φαίνεται πιο περίπλοκη, αλλά απλώς θυμηθείτε πώς να πολλαπλασιάσετε τους εκθέτες των δυνάμεων. Μετατρέψτε τη βάση της ισχύος στη ρίζα της ρίζας (όπως ένα κανονικό κλάσμα) και τον αριθμητή του κλάσματος στον εκθέτη της ρίζας. Εάν δυσκολεύεστε να το απομνημονεύσετε, απλά πρέπει να θυμάστε ότι είναι ακριβώς το ίδιο με. Για παράδειγμα:
   • =

3. 

   Προσθέστε, αφαιρέστε και πολλαπλασιάστε τις δυνάμεις με κλασματικούς εκθέτες κανονικά. Είναι πολύ πιο απλό να προσθέσετε και να αφαιρέσετε τις δυνάμεις πριν από τον υπολογισμό ή τη μετατροπή τους σε ρίζες. Εάν οι βάσεις και οι εκθέτες των δυνάμεων είναι οι ίδιοι, μπορείτε να τους προσθέσετε και να τους αφαιρέσετε κανονικά. Εάν οι βάσεις των δυνάμεων είναι ίδιες, μπορείτε επίσης να τις πολλαπλασιάσετε και να τις διαιρέσετε κανονικά, αρκεί να γνωρίζετε πώς να προσθέσετε και να αφαιρέσετε κλάσματα. Κοιτάξτε τα παραδείγματα:

4. 

   Μετατρέψτε τις περίπλοκες ρίζες σε κλασματικές εκθετικές δυνάμεις για να διευκολύνετε την επίλυση. Έχετε δει πώς μια κλασματική εκθετική δύναμη μπορεί απλά να μετατραπεί σε ρίζα. Ωστόσο, είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι αυτή η διαδικασία μπορεί επίσης να αντιστραφεί. Πάρτε την έκφραση ως παράδειγμα. Με την πρώτη ματιά, φαίνεται αδύνατο να λυθεί το πρόβλημα. Ωστόσο, η ρίζα στον πρώτο όρο μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε κλάσμα, επιτρέποντάς σας να λύσετε το πρόβλημα ως εξής:

Συμβουλές

• "Απλοποίηση" στα μαθηματικά σημαίνει "εκτέλεση των απαραίτητων μαθηματικών πράξεων για να φτάσουμε στην απλούστερη μορφή των σχετικών εκφράσεων".
• Οι περισσότεροι υπολογιστές έχουν ένα κουμπί που πρέπει να πατήσετε για να προσθέσετε τον εκθέτη μετά την είσοδο στη βάση. Συχνά υποδεικνύεται από ^ ή x ^ y.
• 1 είναι το στοιχείο ταυτότητας της εκθετικότητας. Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός αυξάνεται στο 1 (δηλαδή, η πρώτη ισχύς) είναι ίσος με τον εαυτό του, όπως για παράδειγμα. Ομοίως, το 1 είναι το στοιχείο ταυτότητας του πολλαπλασιασμού (1 χρησιμοποιείται ως πολλαπλασιαστής, όπως) και της διαίρεσης (1 χρησιμοποιείται ως διαιρέτης, όπως).
• Η μηδενική βάση που ανυψώνεται στο μηδενικό εκθέτη, δηλαδή 0, έχει απροσδιόριστη τιμή. Οι υπολογιστές και οι αριθμομηχανές θα επιστρέψουν ένα μήνυμα σφάλματος. Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός εκτός από το μηδέν που αυξάνεται στο 0 είναι πάντα ίσος με 1, για παράδειγμα
• Στην προηγμένη άλγεβρα για φανταστικούς αριθμούς ,,, όπου, είναι μια συνεχής παράλογη σταθερά που αξίζει περίπου 2.71828 ... και είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Η απόδειξη αυτής της σχέσης βρίσκεται στα περισσότερα βιβλία μαθηματικών υψηλότερου επιπέδου.

Προειδοποιήσεις

• Η αύξηση της τιμής του εκθέτη προκαλεί μια πολύ ταχεία αύξηση του μεγέθους της ισχύος, έτσι ώστε, ακόμη και αν η απάντηση φαίνεται λανθασμένη, μπορεί πραγματικά να είναι σωστή. Μπορείτε να το ελέγξετε γράφοντας οποιαδήποτε εκθετική συνάρτηση (για παράδειγμα, 2) εάν το x έχει εύρος τιμών.