Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλές

Τα δυόμια είναι μικρές μαθηματικές εκφράσεις που αποτελούνται από μια μεταβλητή (x, a, 3x, 4t, 1090y) που προστίθεται ή αφαιρείται από μια σταθερά (1, 3, 110, κ.λπ.). Τα Binomials θα περιέχουν πάντα μόνο δύο όρους, αλλά αποτελούν συστατικά στοιχεία πολύ μεγαλύτερων και πιο περίπλοκων εξισώσεων γνωστών ως πολυώνυμα, καθιστώντας αυτήν την εκμάθηση εξαιρετικά σημαντική. Αυτό το άρθρο θα μιλήσει για τους διάφορους τύπους διωνυμικών πολλαπλασιασμών, αλλά μπορούν επίσης να μαθευτούν ξεχωριστά.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Πολλαπλασιασμός δύο διωνύμων

1. 

   Κατανοήστε το μαθηματικό λεξιλόγιο και τους τύπους ερωτήσεων. Θα είναι αδύνατο να επιλυθούν οι ερωτήσεις για την επόμενη εξέταση εάν δεν ξέρετε τι ζητούν. Ευτυχώς, η ορολογία είναι αρκετά εύκολη:
   • Οροι: ένας όρος είναι απλώς ένα μέρος της εξίσωσης που προστίθεται ή αφαιρείται. Μπορεί να είναι μια σταθερά, μια μεταβλητή ή και τα δύο. Για παράδειγμα, σε 12 + 13x + 4x, οι όροι είναι 12,13χ, και 4χ.
   • Διωνυμικός: αυτός είναι απλώς ένας περίπλοκος τρόπος να πούμε «μια έκφραση με δύο όρους», όπως x + 3 ή x - 3x.
   • Δυνάμεις: Αυτό αναφέρεται σε εκθέτη ενός όρου. Για παράδειγμα, μπορείτε να πείτε ότι το x είναι "x à δεύτερη δύναμη ή σε δύο.’
   • Οποιαδήποτε ερώτηση που ρωτάει "Βρείτε τους όρους δύο διωνύμων (x + 3) (x + 2)," "Βρείτε το προϊόν των δύο διωνύμων" ή "επεκτείνετε τα δύο διωνύμια" σας ζητά να πολλαπλασιάσετε τα δύο διωνύμια.

2. 

   
   
   Μάθετε το αρκτικόλεξο FOIL για να θυμάστε τη σειρά του διωνυμικού πολλαπλασιασμού. Το FOIL είναι μια αγγλική μέθοδος που καθοδηγεί τον πολλαπλασιασμό δύο διωνύμων. FOIL σημαίνει τη σειρά με την οποία πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα μέρη των διωνύμων: F σημαίνει Πρώτα (Πρώτον), O είναι Εξω απο (Από έξω), εννοώ Εσωτερικός (Από μέσα) και το L είναι για τελευταίος (Τελευταίο) - Πρώτα εκείνοι έξω, έπειτα εκείνοι μέσα. Τα ονόματα αναφέρονται στη σειρά με την οποία γράφονται οι όροι. Ας υποθέσουμε ότι πολλαπλασιάζετε τα διωνύμια (x + 2) και (x + 5). Οι όροι θα ήταν:
   • Πρώτα: x & x
   • Εξωτερικός: x & 5
   • Εσωτερικός: 2 & x
   • Τελευταίος: 2 & 5

3. 

   
   
   Πολλαπλασιάστε το πρώτο μέρος σε κάθε παρένθεση. Αυτό είναι το «F» για το FOIL. Στο παράδειγμά μας, (x + 2) (x + 5), οι πρώτοι όροι είναι «x» και «x». Πολλαπλασιάστε τα και γράψτε την απάντηση: "x."
   • Πρώτοι όροι: x * x = x

4. 

   Πολλαπλασιάστε τα OUTSIDE μέρη κάθε παρένθεσης. Αυτές είναι οι πιο εξωτερικές «συμβουλές» του προβλήματός μας. Έτσι, στο παράδειγμά μας (x + 2) (x + 5), αυτές οι συμβουλές θα ήταν "x" και "5." Μαζί, έχουν ως αποτέλεσμα "5x"
   • Εξωτερικοί όροι: x * 5 = 5χ

5. 

   
   
   Πολλαπλασιάστε τα μέρη του ININ σε κάθε παρένθεση. Οι δύο αριθμοί που είναι πιο κοντά στο κέντρο θα είναι ο όρος μέσα. Στο (x + 2) (x + 5), αυτό σημαίνει ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε το "2" με το "x" για να αποκτήσετε το "2x."
   • Εσωτερικοί όροι: 2 * x = 2χ

6. 

   Πολλαπλασιάστε τα ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ μέρη κάθε παρένθεσης. Αυτό όχι σημαίνει τους δύο τελευταίους αριθμούς, αλλά τον τελευταίο αριθμό σε κάθε παρένθεση. Επομένως, στο (x + 2) (x + 5), πολλαπλασιάστε τα "2" και "5" για να λάβετε το "10."
   • Τελευταίοι όροι: 2 * 5 = 10

7. 

   Προσθέστε όλους τους όρους. Συνδυάστε τους όρους προσθέτοντάς τους μαζί για να δημιουργήσετε μια νέα και μεγαλύτερη έκφραση. Από το προηγούμενο παράδειγμα, λαμβάνουμε την εξίσωση:
   • x + 5x + 2x + 10

8. 

   Απλοποιήστε τους όρους. Παρόμοιοι όροι είναι μέρη μιας εξίσωσης που έχουν την ίδια μεταβλητή και ισχύ. Στο παράδειγμά μας, οι όροι 2x και 5x μοιράζονται το x και μπορούν να προστεθούν μαζί. Δεν υπάρχει πλέον παρόμοιος όρος, οπότε παραμένουν ανέγγιχτοι.
   • Τελική απάντηση: (x + 2) (x + 5) = x + 7x + 10
   • Σύνθετη σημείωση: Για να μάθετε πώς λειτουργούν παρόμοιοι όροι, θυμηθείτε τα βασικά του πολλαπλασιασμού. 3 * 5, για παράδειγμα, σημαίνει ότι προσθέτετε τις πέντε τρεις φορές για να λάβετε 15 (5 + 5 + 5). Στην εξίσωση μας, έχουμε 5 * x (x + x + x + x + x) και 2 * x (x + x). Εάν προσθέσουμε όλα τα "x" s στην εξίσωση, έχουμε επτά "x" s ή 7x.

9. 

   Να θυμάστε ότι οι αριθμοί που αφαιρούνται είναι αρνητικοί. Όταν ένας αριθμός αφαιρείται, είναι ίδιος με την προσθήκη ενός αρνητικού αριθμού. Εάν ξεχάσετε να διατηρήσετε το σύμβολο μείον στους υπολογισμούς, θα καταλήξετε με τη λανθασμένη απάντηση. Πάρτε το παράδειγμα (x + 3) (x-2):
   • Πρώτα: x * x = x
   • Εξω: x * -2 = -2χ
   • Από μέσα: 3 * x = 3x
   • Αργότερο: 3 * -2 = -6
   • Προσθέστε όλους τους όρους: x - 2x + 3x - 6
   • Απλοποιήστε την απάντηση:x + x - 6

Μέθοδος 2 από 3: Πολλαπλασιασμός περισσότερων από δύο διωνύμων

1. 

   Πολλαπλασιάστε τα πρώτα δύο διωνύμια, αγνοώντας προσωρινά το τρίτο. Πάρτε το παράδειγμα (x + 4) (x + 1) (x + 3). Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ένα διωνυμικό κάθε φορά, οπότε πολλαπλασιάζουμε τα δύο με FOIL ή κατανομή όρου. Ο πολλαπλασιασμός των δύο πρώτων, (x + 4) και (x + 1), με το FOIL, θα είναι ο εξής:
   • Πρώτα: x * x = x
   • Εξω: 1 * x = x
   • Από μέσα: 4 * x = 4χ
   • Αργότερο: 1*4 = 4
   • Συνδυάστε τους όρους: x + x + 4x + 4
   • (x + 4) (x + 1) = x + 5x +4

2. 

   Συνδυάστε το υπόλοιπο διωνύμιο με τη νέα εξίσωση. Τώρα που το τμήμα της εξίσωσης πολλαπλασιάστηκε, μπορείτε να αντιμετωπίσετε το υπόλοιπο διωνυμικό. Στο παράδειγμα (x + 4) (x + 1) (x + 3), ο υπόλοιπος όρος είναι (x + 3). Βάλτε το μαζί με τη νέα εξίσωση, έχοντας: (x + 3) (x + 5x + 4).

3. 

   Πολλαπλασιάστε τον πρώτο αριθμό στο διωνυμικό με τους τρεις αριθμούς στην άλλη παρένθεση. Πρόκειται για την κατανομή των όρων. Επομένως, στην εξίσωση (x + 3) (x + 5x + 4), θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο x με τα τρία μέρη της δεύτερης παρένθεσης, "x," "5x" και "4."
   • (x * x) + (x * 5x) + (x * 4) = x + 5x + 4x
   • Γράψτε αυτήν την απάντηση και αποθηκεύστε την για αργότερα.

4. 

   Πολλαπλασιάστε τον δεύτερο αριθμό στο διωνυμικό με τους τρεις αριθμούς στην άλλη παρένθεση. Πάρτε την εξίσωση (x + 3) (x + 5x + 4). Τώρα, πολλαπλασιάστε το δεύτερο μέρος του διωνύμου και με τα τρία μέρη των άλλων παρενθέσεων "x," "5x" και "4."
   • (3 * x) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x + 15x + 12
   • Γράψτε αυτήν την απάντηση κοντά στην πρώτη.

5. 

   Προσθέστε τα δύο προϊόντα του πολλαπλασιασμού. Πρέπει να συνδυάσετε τις απαντήσεις από τα δύο προηγούμενα βήματα, καθώς αποτελούν τα δύο μέρη της τελικής σας απάντησης.
   • x + 5x + 4x + 3x + 15x + 12

6. 

   Απλοποιήστε την εξίσωση για να λάβετε την τελική απάντηση. Οποιοσδήποτε "παρόμοιος" όρος ή όροι που μοιράζονται την ίδια μεταβλητή και ισχύ (όπως 5x και 3x), μπορούν να προστεθούν για να κάνουν την απάντηση πιο απλή.
   • 5x και 3x μορφή 8x
   • 4x και 15x μορφή 19x
   • (x + 4) (x + 1) (x + 3) = x + 8x + 19x + 12

7. 

   Χρησιμοποιείτε πάντα τη διανομή για την επίλυση μεγαλύτερων προβλημάτων πολλαπλασιασμού. Δεδομένου ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την κατανομή όρων για τον πολλαπλασιασμό εξισώσεων οποιουδήποτε μήκους, έχετε πλέον τα εργαλεία που χρειάζεστε για την επίλυση μεγαλύτερων προβλημάτων, όπως (x + 1) (x + 2) (x + 3). Πολλαπλασιάστε δύο διωνύμια χρησιμοποιώντας την κατανομή όρου ή το FOIL και στη συνέχεια χρησιμοποιήστε την κατανομή όρων για να πολλαπλασιάσετε το τελικό διωνυμικό με τα πρώτα δύο. Στο ακόλουθο παράδειγμα, χρησιμοποιούμε το FOIL (x + 1) (x + 2) και μετά διανέμουμε τους όρους με το (x + 3) για να λάβουμε την τελική απάντηση:
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 1) (x + 2) * (x + 3)
   • (x + 1) (x + 2) = x + 3x + 2
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 3: + 2) * (x + 3)
   • (x + 3x + 2) * (x + 3) = x + 3x + 2x + 3x + 9x + 6
   • Απλοποιήστε την απάντηση:x + 6x + 11x + 6

Μέθοδος 3 από 3: Τετράγωνο διωνύμων

1. 

   Κατανοήστε πώς να οργανώσετε «γενικούς τύπους». Οι γενικοί τύποι σάς επιτρέπουν να ταιριάζετε απλά τους αριθμούς αντί να υπολογίζετε το FOIL κάθε φορά. Τα δυο φιαλίδια που ανυψώνονται στη δεύτερη ισχύ (ή τετράγωνο), όπως (x + 2), ή στην τρίτη ισχύ, όπως (4y + 12), μπορούν εύκολα να τοποθετηθούν σε προϋπάρχουσα φόρμουλα, κάνοντας την ανάλυση πιο γρήγορη ευκολότερη. Για να βρούμε τον γενικό τύπο, αντικαθιστούμε όλους τους αριθμούς με μεταβλητές. Τότε, στο τέλος, μπορούμε απλώς να βάλουμε τους αριθμούς πίσω στην απάντηση. Ξεκινήστε με την εξίσωση (a + b), όπου:
   • ο είναι ο μεταβλητός όρος (ως 4ε - 1, 2χ + 3, κ.λπ.). Εάν δεν υπάρχει αριθμός, τότε a = 1, αφού 1 * x = x.
   • σι είναι η σταθερά που προστίθεται ή αφαιρείται (όπως x + 10, τ - 12).

2. 

   Μάθετε ποια τετράγωνα διωνύμια μπορούν να ξαναγραφούν. (a + b) μπορεί να φαίνεται πιο περίπλοκο από το προηγούμενο παράδειγμά μας, αλλά να θυμάστε αυτό Το τετράγωνο ενός αριθμού πολλαπλασιάζεται απλώς από μόνο του. Έτσι μπορείτε να ξαναγράψετε την εξίσωση για να την κάνετε πιο οικεία:
   • (a + b) = (a + b) (a + b)

3. 

   Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο FOIL για να λύσετε τη νέα εξίσωση. Αν χρησιμοποιούμε το FOIL σε αυτήν την εξίσωση, έχουμε έναν γενικό τύπο που μοιάζει με τη λύση σε οποιονδήποτε διωνυμικό πολλαπλασιασμό. Να θυμάστε ότι στον πολλαπλασιασμό, η σειρά των παραγόντων δεν αλλάζει το αποτέλεσμα.
   • Ξαναγράψτε ως (a + b) (a + b).
   • Πρώτα: a * a = α
   • Από μέσα: b * a = ba
   • Εξω: a * b = αβ
   • Αργότερο: b * b = β.
   • Προσθέστε τους νέους όρους: a + ba + ab + b
   • Συνδυάστε παρόμοιους όρους: a + 2ab + b
   • Σύνθετη σημείωση: Οι ιδιότητες πολλαπλασιασμού και διαίρεσης δεν λειτουργούν για εκθέτες. (a + b) δεν είναι το ίδιο με το + b. Αυτό είναι ένα πολύ κοινό λάθος που κάνουν οι άνθρωποι.

4. 

   Χρησιμοποιήστε τη γενική εξίσωση a + 2ab + b για να λύσετε τα προβλήματά σας. Πάρτε την εξίσωση (x + 2). Αντί να χρησιμοποιήσουμε ξανά το FOIL, μπορούμε να ταιριάξουμε τον πρώτο όρο στο "a" και το δεύτερο στον "b":
   • Γενική εξίσωση: a + 2ab + b
   • a = x, b = 2
   • x + (2 * x * 2) + 2
   • Τελική απάντηση: x + 4x + 4.
   • Μπορείτε πάντα να ελέγχετε τους υπολογισμούς σας κάνοντας FOIL στην αρχική εξίσωση, (x + 2) (x + 2). Θα έχετε πάντα την ίδια απάντηση εάν ο υπολογισμός έγινε σωστά.
   • Εάν αφαιρεθεί ένας όρος, εξακολουθεί να είναι απαραίτητο να τον διατηρήσετε αρνητικό στη γενική εξίσωση.

5. 

   Θυμηθείτε να εισαγάγετε ολόκληρο τον όρο στη γενική εξίσωση. Λαμβάνοντας υπόψη το διωνυμικό (2x + 3), θυμηθείτε ότι a = 2x, όχι μόνο a = 2. Όταν έχετε πιο περίπλοκους όρους, είναι απαραίτητο να θυμάστε ότι και τα 2 και x είναι τετράγωνα.
   • Γενική εξίσωση: a + 2ab + b
   • Αντικαταστήστε τα a και b: (2x) + 2 (2x) (3) + 3
   • Αύξηση κάθε όρου στο quardado: (2) (x) + 14x + 3
   • Απλοποιήστε την απάντηση: 4x + 14x + 9

Συμβουλές

• Καθώς τα διωνύμια μεγαλώνουν, θα πρέπει να μάθετε ένα πιο περίπλοκο θεώρημα που ονομάζεται διωνυμική επέκταση.