Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλές

Για διάφορους λόγους, ίσως χρειαστεί να ορίσετε τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή για μια δεδομένη τετραγωνική συνάρτηση. Μπορείτε να βρείτε αυτήν την τιμή εάν η αρχική συνάρτηση είναι γραμμένη σε γενική μορφή, ή τυπική, μορφή. Τέλος, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε βασικές έννοιες υπολογισμού για να ορίσετε τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή οποιασδήποτε τετραγωνικής συνάρτησης.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Ξεκινώντας με τη γενική μορφή της συνάρτησης

1. 

   Γράψτε τη συνάρτηση σε γενική μορφή. Η συνάρτηση τετραγωνικής είναι αυτή που έχει έναν όρο. Μπορεί ή όχι να περιέχει έναν όρο χωρίς εκθέτη. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν πρέπει να υπάρχει εκθέτης μεγαλύτερος από 2. Η γενική μορφή είναι. Εάν είναι απαραίτητο, συνδυάστε παρόμοιους όρους και αναδιατάξτε τους για να ταιριάξετε τη συνάρτηση με τη γενική φόρμα.
   • Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ξεκινήσατε. Συνδυάστε όρους και όρους για να αποκτήσετε την εξίσωση στη γενική της μορφή:

2. 

   
   
   Προσδιορίστε την κατεύθυνση του γραφήματος. Μια τετραγωνική συνάρτηση οδηγεί στο γράφημα μιας παραβολής, η οποία μπορεί να ανοίξει ή να κλείσει. Εάν ο συντελεστής του όρου είναι θετικός, η παραβολή βλέπει προς τα πάνω. Αν, από την άλλη πλευρά, είναι αρνητικό, βλέπει προς τα κάτω. Κοιτάξτε τα ακόλουθα παραδείγματα:
   • Σταματήστε, έτσι ώστε η παραβολή να ανοίγει προς τα πάνω.
   • Σταματήστε, έτσι ώστε η παραβολή να ανοίξει προς τα κάτω.
   • Σταματήστε, έτσι ώστε η παραβολή να ανοίγει προς τα πάνω.
   • Εάν η παραβολή κοιτάζει προς τα πάνω, θα βρείτε την ελάχιστη τιμή της. Διαφορετικά, εάν βλέπει προς τα κάτω, θα βρεθεί η μέγιστη τιμή.

3. 

   
   
   Υπολογισμός -b / 2a. Η τιμή αντιπροσωπεύει την τιμή της κορυφής της παραβολής. Όταν η τετραγωνική συνάρτηση γράφεται στη γενική της μορφή, χρησιμοποιήστε τους συντελεστές και ως εξής:
   • Για μια συνάρτηση, π.χ. Έτσι, για να βρείτε την τιμή κορυφής:
   • Ως δεύτερο παράδειγμα, σκεφτείτε τη συνάρτηση. Σε αυτό το παράδειγμα, π.χ. Έτσι, για να βρείτε την τιμή x της κορυφής:

4. 

   
   
   Βρείτε την αντίστοιχη τιμή f (x). Εισαγάγετε την πρόσφατα υπολογισμένη τιμή x στη συνάρτηση για να βρείτε την αντίστοιχη τιμή του f (x). Θα αντιπροσωπεύει το μέγιστο ή το ελάχιστο της συνάρτησης.
   • Για το παραπάνω παράδειγμα, υπολογίσατε την τιμή x για την κορυφή. Εισαγάγετε τη συνάρτηση για να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή.
   • Για το δεύτερο παράδειγμα παραπάνω, αποφασίσατε ότι η κορυφή ήταν στο. Εισαγάγετε τη συνάρτηση για να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή:

5. 

   Καταγράψτε τα αποτελέσματα. Ελέγξτε την ερώτηση που τέθηκε. Εάν ζητήθηκαν οι συντεταγμένες κορυφών, είναι απαραίτητο να σημειωθούν τόσο οι τιμές όσο και του (ή). Εάν, ωστόσο, ζητήθηκε μόνο η μέγιστη ή ελάχιστη τιμή, απλώς γράψτε την τιμή (ή). Επιστρέψτε στον ορισμό του συντελεστή για να βεβαιωθείτε ότι υπάρχει μια μέγιστη ή ελάχιστη τιμή.
   • Για το πρώτο παράδειγμα, η τιμή του είναι θετική, οπότε θα γράψετε την ελάχιστη τιμή. Η κορυφή είναι στο και η ελάχιστη τιμή είναι.
   • Για το δεύτερο παράδειγμα, η τιμή είναι αρνητική, οπότε θα γράψετε τη μέγιστη τιμή. Η κορυφή είναι στο και η μέγιστη τιμή είναι.

Μέθοδος 2 από 3: Χρήση του τυπικού ή του Vertex Shape

1. 

   Γράψτε την τετραγωνική συνάρτηση σε τυπική μορφή ή την κορυφή. Αυτό το σχήμα, που ονομάζεται τυπικό σχήμα ή η κορυφή, μπορεί να γραφτεί ως εξής:
   • Εάν η συνάρτηση σας έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη φόρμα, απλώς αναγνωρίστε τις μεταβλητές και. Εάν η συνάρτηση ξεκινά με τη γενική φόρμα, πρέπει να συμπληρώσετε το τετράγωνο για να την ξαναγράψετε στη φόρμα κορυφής.
   • Για να δείτε πώς να ολοκληρώσετε το τετράγωνο διαβάστε αυτό το άρθρο.

2. 

   Προσδιορίστε την κατεύθυνση του γραφήματος. Όπως και με την τετραγωνική συνάρτηση γραμμένη σε γενική μορφή, θα γνωρίζετε την κατεύθυνση της παραβολής κοιτάζοντας τον συντελεστή. Εάν, σε αυτήν την τυπική μορφή, είναι θετικό, η παραβολή βλέπει προς τα πάνω. Αν, από την άλλη πλευρά, είναι αρνητικό, βλέπει προς τα κάτω. Σημειώστε τα ακόλουθα παραδείγματα:
   • Θετικά, έτσι ώστε η παραβολή να ανοίγει προς τα πάνω.
   • Για να είναι αρνητικό, έτσι ώστε η παραβολή να ανοίγει προς τα κάτω.
   • Εάν η παραβολή κοιτάζει προς τα πάνω, θα βρείτε την ελάχιστη τιμή της. Εάν, από την άλλη πλευρά, είναι στραμμένη προς τα κάτω, θα βρεθεί η μέγιστη τιμή.

3. 

   Προσδιορίστε τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. Όταν η συνάρτηση είναι γραμμένη σε τυπική μορφή, για να βρείτε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή, απλώς αναγνωρίστε την τιμή της μεταβλητής. Για τα δύο παραπάνω παραδείγματα, αυτές οι τιμές είναι:
   • Για , . Αυτή είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης, καθώς η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω.
   • Για , . Αυτή είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης, επειδή η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω.

4. 

   Προσδιορίστε την κορυφή. Εάν ζητηθούν οι συντεταγμένες της μέγιστης ή της ελάχιστης τιμής, το σημείο θα είναι. Ωστόσο, σημειώστε ότι, σε τυπική μορφή, ο όρος της εξίσωσης σε παρένθεση θα απαιτήσει το αντίθετο σύμβολο του αριθμού που συνοδεύει το.
   • Γιατί, ο όρος σε παρένθεση είναι και μπορεί να ξαναγραφεί ως. Σύντομα, . Με αυτόν τον τρόπο, οι συντεταγμένες της κορυφής αυτής της συνάρτησης θα είναι.
   • Γιατί, ο όρος σε παρένθεση είναι. Σύντομα, . Οι συντεταγμένες της κορυφής θα είναι.

Μέθοδος 3 από 3: Χρήση υπολογισμού για την εξαγωγή της ελάχιστης ή της μέγιστης τιμής

1. 

   Ξεκινήστε με τη γενική φόρμα. Γράψτε την τετραγωνική συνάρτηση σε γενική μορφή. Εάν είναι απαραίτητο, ίσως χρειαστεί να συνδυάσετε παρόμοιους όρους και να τους αναδιατάξετε στην κατάλληλη μορφή.
   • Ξεκινήστε με τη συνάρτηση παραδείγματος.

2. 

   Χρησιμοποιήστε τον κανόνα ισχύος για να βρείτε το πρώτο παράγωγο. Με βασικούς υπολογισμούς, θα βρείτε το πρώτο παράγωγο της γενικής τετραγωνικής συνάρτησης.
   • Για τη συνάρτηση παραδείγματος, βρείτε το παράγωγο:
     • .

3. 

   Ορίστε το παράγωγο στο μηδέν. Να θυμάστε ότι το παράγωγο μιας συνάρτησης δείχνει την κλίση του σε αυτό το συγκεκριμένο σημείο. Το ελάχιστο ή το μέγιστο μιας συνάρτησης υπάρχει στο σημείο όπου η κλίση είναι ίση με το μηδέν. Έτσι, για να μάθετε πού είναι, ορίστε το παράγωγο στο μηδέν. Συνεχίστε με το παραπάνω παράδειγμα:

4. 

   Βρείτε την τιμή του x. Χρησιμοποιήστε τους βασικούς κανόνες της Άλγεβρας για να αναδιατάξετε τη συνάρτηση και να βρείτε την τιμή του x, όταν το παράγωγο είναι ίσο με μηδέν. Αυτή η λύση υποδεικνύει τη συντεταγμένη x της κορυφής της συνάρτησης, η οποία θα είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο.

5. 

   Εισαγάγετε την επιλυμένη τιμή του x στην αρχική συνάρτηση. Η ελάχιστη ή μέγιστη τιμή της συνάρτησης θα είναι η τιμή στην επιλεγμένη θέση. Εισαγάγετε την τιμή στην αρχική συνάρτηση και λύστε για να βρείτε το ελάχιστο ή το μέγιστο.
   • Για τη συνάρτηση, σε,

6. 

   Γράψτε τη λύση. Η λύση σας δίνει την τιμή κορυφής ή το μέγιστο ή ελάχιστο σημείο. Σε αυτό το παράδειγμα λειτουργίας, η κορυφή βρίσκεται στο. Ο συντελεστής είναι θετικός και επομένως ανοίγει προς τα πάνω. Επομένως, η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης βρίσκεται στον άξονα y της κορυφής, ο οποίος είναι ίσος με.

Συμβουλές

• Ο άξονας συμμετρίας της παραβολής είναι.